特级教师“以讲为主”照样高质量！

《人民教育》2012年第8期长篇介绍了人大附中历史特级教师李晓风——他“以讲为主”，却照样高质量！

这在大力提倡“以生为本、自主探究”的今天的确异类！

《人民教育》为什么要表扬、宣传他呢，——何况同一期还更长篇幅地表扬了“以学为主”的《“教育奇人”孟照彬》？

暂不猜原因，先来看看李晓风怎样“以讲为主”的吧。

1、主要靠自己讲：

“李晓风讲课，形式上非常传统，比如，基本上一直站在讲台上，偶尔板书几个字，放放PPT；比如，以讲为主，偶尔提一两个问题，很多时候还是自问自答；比如，基本上没有什么表情，厚厚的眼袋，把眼睛挤得很小，甚至不容易发现他的眼神。语调极其平淡，不注意的话，很多‘要旨’一溜烟就跑了。”

2、高三依旧靠自己讲：

“高三课堂教学，大都以做题讲题为主，但李晓峰坚持……以讲授为主，……‘无论是简是繁，无论是难是易，深入到位的阐释应该呈现在每一堂课中，应该成为教师日常教学的主要组成部分。’……教学进度缓慢，深入的教学阐释会花费掉一定的时间，……”

3、紧扣教材讲：

“李晓风……始终主张‘讲教材’。他说的‘讲教材’，当然不是‘照本宣科’，而是指‘从教材出发来讲历史’。高中历史教材只有薄薄的几本，却纵贯几千年，横跨七大洲四大洋，可谓高度凝练，……”

但他却讲出了高质量：“即便如此，孩子们的高考成绩也从来没有让他失望过”，而且，“人大附中毕业生、北大历史系学生郭欣韵，曾是李晓风的忠实‘粉丝’。她形容说：‘只听一两节课，你也许体会不出李老师的魅力，但时间一长，你便会上瘾，就是觉得李老师的课讲得好。’……只一年的熏陶，学生对历史的认识就会发生极大变化。……对学生形成深刻记忆和学科能力有很大帮助。……人大附中毕业生、北京大学社会学系2011级本科生田梓垚说：‘在高三的单调生活中，历史课成为我们全班同学的享受。李老师十分注重逻辑，带领我们建立起知识的整体架构，这无论对考试还是我们今后的常识记忆都是大有裨益的。’”

《人民教育》为什么要表扬这个“异类”？其实答案就藏在这期杂志里：

先表扬“以学为主”的孟照彬，再表扬“以讲为主”的李晓风，最后刊出南大哲学系教授郑毓信的《教学模式研究需要再深入》一文作为总结：“由于教学活动的复杂性，特别是教学对象、教学内容与教学环境的多样性和变化性，从而就不可能被完全纳入到任何一个固定的框架或模式之中”，“我们应当更为明确地倡导教学模式的多样化，并清除地了解各种模式的优点与局限性，从而就能依据具体的教学对象、教学内容与教学环境，包括教师本人的个性特征，创造性地加以应用。”

其实还是那句老话精炼：“教学有法，教无定法！”

其实认真阅读全文会发现，李晓风是认同“教学有法”的——他的“以讲为主”并不是众多老师所迷信的“满堂灌”：他反对照本宣科，而是有根有据、新知频出；他强调补充史实、观点辨析，讲解时纵横捭阖、洋洋洒洒；他激励学生主动思考、独立思考；别说高一、高二，即使高三复习他都不用参考书且从不布置课后作业，唯一的“作业”只是“把课上讲的回忆一遍”；他的高三复习只有一轮，而且不做题讲题、照旧“以讲为主”……

不要以为学李晓风容易！他读过多少书、经历过多深刻的思考啊：

“大学毕业分到人大附中的头十年，整整读了十年的书。他读的主要不是历史，而是‘西方哲学史’……分析哲学（按：盛行于上世纪上半叶、影响极大的西方哲学思潮），包括后来的后现代哲学，带给李晓风的不仅仅是严谨和对历史学的敬畏，还有‘一种更加宽容更加多元化的看问题的眼光（按：这是后现代哲学比如建构主义的突出特点），……’这种眼光，深刻地影响着李晓风的课堂。”“只要没课的时候，李晓风中午一准儿消失，等到了下午他就会拎着一包书回来。家中三间书房，已藏上万册专业书籍”，——总之，他曾开玩笑地说，“中学历史教师要努力成为‘二手历史学家’”！

所以，想学李晓风的话，还是要从努力学习开始。

26、九上§2《命题与证明》：数学精髓但难教

培养思维能力，数学有着胜过任何其它学科的强项——逻辑思维能力，所以常说数学是“思维体操”。从这方面说，我觉得数学的精髓就是逻辑思维、特别是其中演绎推理性的证明（其培养归纳、类比、直觉等合情推理的作用可能弱于理化生、语文、艺术）。

本章（及书末附录）不但讲演绎思维，而且比以往年代高屋建瓴——占据公理制高点，以公理化方法攻克命题证明，凸显了演绎思维的精髓价值。

但初中孩子懵懵懂懂，不改进方法只怕教起来难！

一、为何演绎证明是数学的精髓？

欧几里得等古希腊数学家首创的公理化方法，来源于他们对演绎证明的追求，是数学逻辑化基本思想方法非常伟大的产物。

M·克莱因在《古今数学思想》第一册中指出：“希腊人……在数学史上至高无上”，“希腊人对数学的最重大贡献是坚持一切数学结果必须根据明白规定的公理用演绎法推出”，它“的贡献有比数学内容更重要之处；它创造了我们今日所理解的那种数学。它坚持用演绎法来作证明，重视抽象而不重视具体，这些都决定了数学的性质。至于它选择一组最富于成果而又非常易于为人接受的公理的这种做法，它对几百个定理的猜测和证明，则又大大推动了这门科学的向前发展”。“既然归纳、观察和实验一直是获得知识的重要来源，并且被各门科学用得很多很好，那为什么希腊人喜欢在数学里用演绎推理而排斥其他一切方法呢？……归纳、实验以及根据经验作出的一般结论只能给出可能正确的知识，而演绎法在前提正确的条件下则给出绝对肯定的结果”。据此评价可知，运用公理化方法进行的演绎推理是数学的精髓。

说演绎思维是精髓，不只因为它对数学本身的意义，还因为它铸造了人类的数学精神乃至科学精神——这就是数学的文化意义。本章所附《数学与文化》提到了这一点，为帮各位多了解一点，建议读读本文后面的另一篇博文《要高度重视数学的“软实力”——文化影响力》。

二、合情推理与演绎推理在数学中缺一不可。

数学课标解读指出：“合情推理是根据已有的知识和经验，在某种情境和过程中推出可能性结论的推理。归纳推理、类比推理和统计推理是合情推理的三种重要形式。……应当指出，数学需要演绎推理，更需要合情理。……实际上，数学的各个分支都充满了推理——合情推理和演绎推理。”

本章末《数学与文化》也指出：“探索事物的奥秘，路在何方？……需要调查研究，详细、准确、全面、深入地了解实际情况。在此基础上，运用理论，具体问题具体分析，进行逻辑推理；同时借助直觉判断，归纳推理，类比推理和丰富的联想，摸索出一条路。……这体现了数学的思维方式的威力”。（按：说明一小点，逻辑学认为归纳推理、类比推理、演绎推理同属“逻辑推理”）

合情推理与演绎推理在数学（乃至任何学科的）研究中如何分工呢？合情推理的任务是依据观察或实验结果作出理论性的猜想（假设或假说）；演绎推理的任务则是用已有的知识或理论证明这一猜想的正确性，或依据已有知识推导出新结论。总之，二者相辅相成、缺一不可。

三、怎样教好显得枯燥的本章内容？

无须解释，每位教师都知道本章教学不容易。那该用什么办法来搞好本章教学呢？

如下办法肯定有用：（1）联系已学知识，让学生觉得命题及其证明并不陌生，而且还能用来梳理旧知、加深理解；（2）联系生活实际，让学生恍然大悟“其实我早就用过演绎推理了”，增加熟悉感；（3）运用多种现代教育技术手段，把学习活动搞得直观、多彩。

但我要补充一个重要的办法：激发学生的“理智感”和“美感”，让他们喜欢上命题证明。

喜欢就是有感情，但情感有低级、高级之分，普通的愉快、忧郁、恐惧等只是低级情感，高级情感则是道德感、理智感和美感（参见荆其诚、林仲贤《心理学概论》，科学出版社1986年版第418页），它们对人的激励作用更深刻、更持久。

何为理智感？“理智感是同满足求知欲、追求真理的思维活动及其内容相联系的一种情感。……对合乎原则性、逻辑性的思维活动及其所导致的正确思想，产生肯定的情感（按：快乐、自豪等）；反之，产生否定的情感（按：沮丧、内疚等）”（郭景萍《情感社会学》，上海三联书店2008年版第20页）。命题证明虽然思维紧绷，但如能感受其中的动脑筋快乐、感受证明成功的快乐，就会体验到肯定性的理智感并喜欢上它。这就需要我们把每堂课设计成解决二三个有价值问题的过程。

 命题证明活动能唤起美感吗？能：证明过程中思维的严谨性、巧妙性、简洁性就是数学活动之美。当然，首先需要我们自己能体验这种美，然后需要我们声情并茂地向学生传递这种美，以此为基础才能激发学生体验命题证明之美。

激发了学生对命题证明活动的理智感和美感，就能帮学生喜欢上它、学好它！

要高度重视数学的“软实力”——文化影响力

（本文系与株洲市教科院谭志俐老师合写，已在《湖北教育》发表）

随着中国GDP登上世界第二，全世界都紧张地盯着我们：

正象鲁迅所提醒的：有些人捧杀（pěngshā）我们，捧是假、逼中国承担不堪重负的国际义务是真；另一些人棒杀（bàngshā）我们,冷嘲热讽中国其实不算什么，至少“软实力”不行——比如文化影响力就相当不行。

作为“软实力”的文化影响力有多重要？社会科学院李海舰、王松说得最重：“知识经济时代，……文化成为了主导力量引导经济发展”，“据相关统计资料，产品利润的80%左右来自于其实体以外的文化含量。”（《新华文摘》2010年第23期第51、53页）

对“捧杀”我们别冲昏头脑，对“棒杀”我们更该反躬自省：确实我们的软实力不强、文化影响力不强——比如中国的数学教育吧，亿万的人们只沉迷于追求它的“硬实力”（算账、搞设计、读好大学赚大钱），又有多少人想过该发挥它对莘莘学子的文化影响力？

一、文化与数学

但什么是数学的文化影响力？

首先得说说什么是文化以及它和数学是什么关系。

学者们对“文化”提出了几十个不同定义，针对你思考的问题，选其中一个合适的就行。我们常常选择这样的描述：文化是人类特创的适应环境的生存方式，具体表现为某种精神文化、制度文化和物质文化，它们相互联系并以精神文化为核心——制度与物质为的是呈现并维护精神。请注意，这意味着：生活于不同环境的人们会有不同的文化，如果环境改变，文化也必须随之改变。

美国著名未来学家托夫勒在其名著《第三次浪潮》中指出，人类陆续创造过三种文化（文明）：古老的农业文化，那时人们靠自己的体力和老天爷恩赐的运气过活，人无法控制天气，就只能祈求各种各样神祗的垂怜，于是对神和“命运”的崇拜、畏惧或感恩成为人们精神世界的核心（很多人至今如此）；近几百年来的工业文化，这时人们拥有了强大的科技和工业力量，爆发出无比威猛的生产力、创造出从未想象过的惊人财富，于是人们笃信“人定胜天”，崇拜科技乃至“唯科学主义”，崇拜大规模、同步化、标准化的生产和生活方式（比如万人中学、班级授课制、标准化课程、标准化考试）成为人们精神世界的核心；今天正在进入的信息时代，生态、能源等诸多危机咄咄逼人，而计算机（尤其是个人电脑）、网络则给了我们个性化、创造性生产和生活的强大可能，于是追求人与人、人与社会、人与自然和谐相处，追求个性化、创造性的劳动与生活（包括学习与教育）必将成为今天和明天的时代精神。

数学与上面所说的文化是什么关系——互生互动的关系。

一方面，不同文化的民族或时代使不同的数学得势。M·克莱因的《古今数学思想》告诉我们：古代数学，不论是古埃及、古印度还是古中国，为服务于农业文化，都更重实用计算；而随着工业文化的兴起，为使实用价值巨大的微积分等新数学严密、可信、好用，数学的理论研究、逻辑体系构建成为潮流。到了今天，人们在继续重视数学理论的同时，惊喜地发现古老的计算研究该焕发新春——否则发挥不了计算机几乎无穷的功能。即使在同一个时代，不同民族的数学也有不同：同样处于公元前的古希腊就与古中国不同，他们蔑视实用计算而喜好逻辑论证；即使今天，我们的计数习惯是四位一级（个级、万级、亿级），欧美人则是三位一级（个级、千级、兆级）——对10000我们读“一万”他们读“十千——ten thousand”。

另一方面，数学本身就是文化的一部分而且是核心部分，它生成、影响着其它部分的文化。郑刚在《中国人的命运》（广东旅游出版社1995年10月版）第249页对数学的这一价值说得最重：“真正的文明定型……有一个统一的范式（按：“范式”可粗略理解为“最根本的思维方式”）规范它的文明的各个方面，……文明范式的最明晰的表现是在数学中。……哲学范式是次一级的范式，即使不是数学范式的延伸也是其伴随。其他子范式（按：科学、技术、社会制度、习俗等方面的子范式）都是它在各个方面的延伸。”这相当于说，有怎样的数学就有怎样的文化：正因为古希腊和近代欧洲的数学重理论思维，所以他们的整个文化都重理论思维；而古中国几千年的数学偏重实用计算，致使绝大多数中国人直到今天仍然重实用、轻理论。

其实上述两方面是相辅相成的，文化与数学相生互动，不必花力气去穷追究竟“鸡生蛋还是蛋生鸡”。

二、数学的文化影响力是什么

既然在精神、制度、物质各种文化要素中精神是核心，那么数学的文化影响力就在于它对人们精神的影响。何为精神？可视为新课程标准所说的“情感、态度与价值观”：判断是非、善恶、美丑的价值标准体系，思维方式（态度），情感特征，三者中以思维方式为核心。何为数学所应、所能培养的“数学精神”？我们认为：核心是数学的思维方式即“数学基本思想方法”，比如量化方法、（演绎、归纳、类比等）逻辑方法、建构（数学模型）方法、（化繁为简、化新为旧的）化归方法等；数学的价值观是对这些数学基本思想方法的信任，以其为真、为善、为美；数学的情感特征则是对学习与运用这些数学基本思想方法的喜爱与追求。重视了这种数学精神的培养，就是重视了数学的文化影响力。

很遗憾，我们的数学教育并没做好这一点。某次一位教育局的科长推荐一份调查报告，夸耀它写得如何如何好，可仔细一看，既无数据、也无事证，只用文字描述了若干“问题”便提出了若干“对策”！显然这位科长和那位报告的作者毫无数学精神——受过高等教育的官员尚且如此，大众更会如何？据中国科协发布的调查结果，2010年我国具备基本科学素养（当然含数学精神在内）的公民比例为3.27%，虽比2005年的1.60%和2007年的2.25%有显著提高，但仅相当于日本（1991年3%）、加拿大（1989年4%）和欧盟（1992年5%）上世纪80年代末、90年代初的水平，差距甚大！

差距的现实根源于我们的传统文化和传统数学。

上世纪八十年代，著名哲学家李泽厚有个重要研究结论：与欧洲人不同，传统文化熏陶出的中国人，其“文化-心理结构”的根本特征是“实用理性”、过于偏重实用——好的影响是因偏重在世幸福而疏远追求来世的宗教，坏的影响是因偏重实用技术和现实人伦关系而忽视了追索深远的抽象理论思维。

这样的传统文化与我们的传统数学是相生互动的，比如可做如下对比：

欧洲自古以来的大数学家很多都是哲学家且极少做官：古希腊的泰勒斯、毕达哥拉斯、芝诺、德谟克里特、柏拉图、亚里士多德，后来的罗杰尔·培根、笛卡尔、牛顿、莱布尼茨、帕斯卡、伽利略、罗素，上世纪中期的法国布尔吉巴结构主义学派……充分体现出他们重视抽象理论思维的风格。

中国呢？杜石然等编著的《中国科学技术史稿》（科学出版社1982年8月版）从春秋至明朝一共提到了17位大数学家，除开被后世排挤、湮灭的墨子，其余16位（刘徽、祖冲之、祖暅、王孝通、赵爽、李淳风、一行和尚、徐昂、秦九韶、沈括、李冶、杨辉、朱世杰、贾宪、吴敬、程大位）都不是哲学家——而基本上是朝廷命官，要么从政兼研数学、要么专用数学管天文历法或其他专业事务。既然如此，这些数学家们只能也只会搞实用——在封建专制社会里，也绝不可能容忍他们突破儒家国教而创立异端思想理论。

两千年过去了，21世纪的今天情况如何呢？在数学研究上，我们仍然只是在应用领域颇有成就，在理论研究上却仍让有识之士忧心忡忡。在中小学数学教育上更是如此：目标上考试升学、考公务员做官的实用追求仍然是主流，方法上“解题术”的实用性讲授和训练仍然是主流，数学精神培养则基本上仍然只是极少数勇敢者的呼吁和探索。

由此可见，大力发挥数学的文化影响力迫不及待、任重道远！

三、走出误区、深化课改，大力发挥数学的文化影响力

新世纪启动的课程改革为发挥数学的文化影响力开辟了广阔空间。数学课标修改稿指出：“数学是人类文化的重要组成部分，……数学教育……一方面要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，一方面要充分发挥数学在培养人的科学推理和创新思维方面的功能”——前“一方面”指数学的硬实力即工具性实用价值，后“一方面”则指数学的软实力即文化影响力。为实现数学的文化影响力，课标修改稿要求“启发学生思考，引导学生自主探索，鼓励学生合作交流，使学生真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，得到必要的数学思维训练，获得广泛的数学活动经验。”

十年来的课改实践中，广大教师积极探索，创造了众多培养数学精神的好经验，但也出现了一些误识误为。走出这些误区，才能更好地发挥数学的文化影响力。

误区之一，“情感熏陶”的非数学化：课堂上追求学生肤浅的“快乐”，用许多简单的游戏、操作、奖励“小红花”等等让学生欢声笑语、热热闹闹，以为这就是“情感熏陶”。

从事数学活动需要何种情感、数学活动能激发和养成何种情感特征？心理学告诉我们，高级情感包括理智感、美感、道德感——数学最需要理智感的支撑、也需要美感的支撑，反过来数学也最能激发和养成理智感、激发和养成对“数学美”的美感。

有必要对数学学习中的理智感略作说明：当我们自愿地专注于数学思考时，会对自己的思考活动生发一种情绪体验，觉得自己冷静、严谨、清晰甚至较有难度的思考有价值、有趣甚至愉悦，特别当思考成功的那一刻更是高兴、激动——这就是数学学习中的理智感。经常体验这种“理智感”的高级情感，会使我们觉得数学学习过程有价值、有趣，能激励我们越来越喜欢数学学习，可见它何其重要。

因此我们认为：衡量一堂数学课学生的情感状态好不好，从根本上说，不是看热不热闹，而是看学生是否自愿地、积极地、深深地沉浸于数学思考——此时课堂里也许恰恰鸦雀无声。

误区之二，“问题解决”的实用化：以为应设置的“问题”只是应用性问题、生活化问题，至于纯数学知识的教学就只能搞接受性学习、搞灌输。

运用数学思想方法来解决生活中的实际问题固然能发挥数学的文化影响力，但占中小学数学内容比例更大的纯数学问题的解决（数系扩展、计算、几何公理体系构建、几何与代数证明等）同样如此、甚至作用更大。仅举两例：

一堂小学复习课，教师问“125×2×8=（125×8）×2=2000的依据是什么”，学生答“乘法交换律”，教师表扬“很好”！其实学生的回答不完整，因为完整的逻辑过程应该是125「阅读全文 | 回复 | 引用通告  」

25、九上§1《一元二次方程》：化归思想与数学建模

本章对一元二次方程解法的推导充分运用了化归思想，并提到了数学建模。

一、化归之一：把一元二次方程降次为一元一次方程

本章《小结与复习》中说：“解一元二次方程的基本思路是：降低次数，转化为两个一元一次方程”。

有朋友会认为本章运用的“基本思路”是“转化策略”，我不赞成：

第一，“基本思路”应该就是“数学基本思想方法”，它是战略性的，“策略”则是受战略指导的、战役性的方法，解题术则是受策略指导的、战术性的具体技巧，因此“转化策略”不属于“基本思路”即“数学基本思想方法”。

第二，“转化”有二种：一种是等价两物的横向转化，如代数与几何各成一体但等价，用代数方法解几何问题或反之均属横向转化（故应称“数形互化”）；另一种是复杂之物向其简单成分的纵向转化，本章所用“降次”方法是把复杂的一元二次方程转化为较简单的两个一元一次方程，属于纵向转化。

第三，横、纵转化所依据的基本思想方法不同。横向转化依据的是结构化基本思想方法：代数体系与几何体系虽组成要素不同，但二者的结构关系相同（同构），其要素与结构关系可相互“翻译”（以点与数的一一对应为基础），故可实现代数问题及其解法与几何问题及其解法之间的相互转化。纵向转化依据的是化归化基本思想方法：新学的较复杂数学知识须能化归为已学的较简单数学知识，如复数→实数→有理数→自然数，复杂图形→基本图形，本章则是“一元二次方程→一元一次方程”，它们都属于化归性的纵向转化。

综上可知，本章所运用的“基本思路”（基本思想方法）是“降次”这种化归思想方法——其价值是化新为旧（化未知为已知）、化繁为简从而化难为易。运用这一资源对学生进行数学思想方法教育，让学生领悟它的价值，好处多多。

二、化归之二：公式法→配方法→因式分解法或直接开平方法

本章推导一元二次方程多种解法的路线是从简单到复杂：因式分解法与直接开平方法→配方法→公式法。因式分解法和直接开平方法可直接利用旧知，但只适于解（ax±b）²=c这种特殊形式的方程；对一般式ax²+bx+c=0这种较复杂的方程可用配方法，但很多情况下难以配方；最终推出通用的公式法，且靠此法能推出许多其他一元二次方程的性质（如本章介绍的“判别式及其意义”）。

反过来思考：首先，“公式”从何而来——对ax²+bx+c=0配方而来；然后，配方法又从何而来——变一般式为能因式分解或能直接开平方的特殊式而来。于是可在本章看出化归之二：公式法→配方法→因式分解法或直接开平方法。

为何强调上述化归？因为它表现出数学方法发展的一个规律：复杂方法可化归为简单方法——它不过是简单方法的合成。明白了这一点，学生就会知道：第一，学精简单方法是牢固基础；第二，学复杂方法时要自觉探讨它与简单方法的联系，以达到对“诸方法的整体结构”的整体理解与把握（要重视知识结构、还要重视方法结构）；第三，不迷信复杂方法——比如对2x²-8=0，用公式法、配方法、因式分解法都不如用直接开平方法快捷。

发掘多种解题方法之间的化归关系，并让学生领略其价值，这样的数学思想方法教育同样好处多多。

三、关于数学建模

模型思想是数学的一种重要思想方法（我认为它源于数学结构化基本思想方法），但要深刻了解它须先了解原型、模型、数学模型、数学建模等一系列概念。限于篇幅，本文不作解释，各位可先读本文前面的那篇《中小学数学教育中的“数学建模”》作为辅助。

本章三次提到“建模”：第一节以“建立一元二次方程模型”为题，分析问题一时说“建立方程的模型来计算人行道的宽度”，《小结与复习》中说“建立一元二次方程的模型，求出一元二次方程的解，这是数学的基本功之一。”

能做哪几件事才算有了数学建模的基本功呢？谨以本章第一个问题“建草坪”为例简要说明。

第一，知道谁是模型、是谁的模型、属于哪类模型？

该问题的实际数量关系“某栋建筑所占地是边长35m的正方形，四周留出一样宽的人行道之后，中间的正方形草坪面积是900m²”是问题的原型，而模拟该实际数量关系的符号集合（35-2x）²=900是该原型的模型——因为用的是数学符号，所以属于数学模型（数学定义、图形、表格、公式、函数式、不等式等等也属于数学模型）。

第二，会用建立数学模型的基本方法。对“建草坪”这个问题而言，建模的基本方法是：第一步数学抽象，挑出问题中的数量要素，淘汰无关内容；第二步找数量关系，本题是找出所得各数量要素之间的等量关系；第三步找数学模型，本题是从学过的知识中找到合用的方程模型，用它来表述所得等量关系——这就建立了数学模型；第四步解模，解得方程结果，对照原型问题进行检验，得出可用结果。

其实用数学建模方法解决问题时，所需运用的基本方法都是上述四步，即数学抽象→找数量关系→找合用的数学模型→解模。

中小学数学教育中的“数学建模”

（本文系与株洲市教科院谭志俐老师合写，已在《湖北教育》发表）

今天的数学界、科学技术界（包括自然、社会、人文每门学科及其应用）高度重视数学建模，所以我国每年都举办大学生数学建模竞赛，理工科、文科都参加。

但如果以为“中小学数学教育的任务是教数学基础知识、基本技能，用不着也教不会数学建模”，那就大错特错了！用来指导小学、初中的《全日制义务教育数学课程标准（修改稿）》指出：“让学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、得到结果、解决问题的过程”（有人称这一过程为“建模、解模、检验”三步，我则赞成另一些人，概括地称之为“数学建模”）。义务教育阶段尚且如此，高中阶段就更不用说了。

这就需要说明四个问题：数学建模为何如此重要？数学建模对应用数学和纯数学都重要吗？中小学数学里数学建模也重要吗？中小学阶段如何教数学建模？

一、数学建模作为思想方法是数学的核心价值

对中小学生的终身发展来说，数学的核心价值是什么？是计算技巧吗，不：他们中的大多数将来学的、做的都会是非数学专业，常用的计算技巧最多是有理数（更多人只需算自然数）的加、减、乘，稍微复杂一点的计算就会交给计算器去做。那么，是书里的那一大堆定理和公式吗，也不：首先，定理和公式用不着背，手册上都有；第二，定理和公式描述的都是理想型、标准型，现实对象则从来不理想、不标准，呆套根本解决不了问题。

把数学已有的、定型的那些定义、定理、公式、解题（包括计算）技巧本身当做数学的核心价值，让学生去死记硬背、繁琐模仿练习，在理论上和实践上都是错误的。只有曾经的、早被淘汰的机械唯物主义或庸俗唯物主义才以为1、2、3、4等等和三角形、正方形等等“客观地”存在于世界中，数学知识则是对它们照相般的“真实反映”，从而成为最有价值的绝对真理。遵从这种哲学观念的数学教育，必然陷入知识灌输式、题海操练式的深渊，只能培养出当今太多、太多的高分低能应考机器，却于数学无用、于生活无用。

那么数学的核心价值究竟是什么？是它的思想方法。

对数学的性质，概括新课标的提法，无非是“工具”和“文化”，但这两者其实相通、一致，都指向思想方法。工具者，人造的、作用于加工对象的器械也——数学就是一种“软工具”、“思维操作工具”，即一种思想方法。文化者，以精神特征为核心，物质与制度手段用来呈现它、维护它——数学就是一种精神特征即思想方法特征。文化是多样化、可改变的，数学作为一种文化也如此：不同民族不一样，古中国人重实用算法、古希腊人重逻辑推理；不同时代不一样，长期以来西方人总认为只有他们重逻辑推理的传统思想方法才重要，计算机时代的今天他们忽然明白，东方传统的实用算法也非常重要。

但什么是数学思想方法呢？

数学界对此至今没形成一致的说法。对中小学数学教育来说，我们不妨稍微改改前面所引新课标的那句话，用来概述数学思想方法：“从某类对象中抽象出数学问题、构建数学模型、运演模型得到结果从而解决问题的方法”——而前文说过，这就是“数学建模”。

因此，作为一种思想方法的数学建模是数学的核心价值。

二、数学应用、纯数学研究都要用数学建模方法

说数学的应用需要数学建模方法大家容易接受（为简练起见，以下把“数学建模思想方法”简称为“数学建模方法”）。

最早应用数学来解决实际问题是“结绳记数”，一个绳结就是一个事物集合数量性质的模型，这是“实物模型”。数字创造出来之后，人类大量应用“数字模型”（直到今天无穷应用于计算机的“二进制数字模型”）来解决计数、排序和计算问题——后来又创造了字母及其他数学符号，便把它们与数字一道统称为“代数模型”。“摹形状物”这另一种对数学的应用应该也很早，比如用（不够精准的）三角形、梯形和长方形来呈现一头野牛的形体结构，于是创造出了最初的“几何模型”。

代数模型、几何模型只是说的大类，每个大类又有许多小类、每个小类还有很多种，比如数值模型、方程或不等式模型、函数模型、微积分模型、级数模型、行列式与矩阵模型，平面几何模型、曲面几何模型、解析几何模型、非欧几何模型，统计模型、概率模型、数理逻辑模型……统而言之，数学的每个数字、符号、概念、定义、定理、公式、分支直至整个数学体系都是一种或一类数学模型。

为何它们都是“模型”呢？道理很简单：

我们打算研究的真东西叫“原型”，如果原型太复杂而不便研究，就用另一个简单些的东西模拟它——用来模拟原型的这个东西就叫“模型”。模型不但比原型简单，更重要的是它与原型共有你打算研究的那种性质，对比较简单的模型容易得出研究结果，于是你就比较方便地弄懂了那个较复杂的原型。比如说，合计几堆土豆的数量，你用不着汗流浃背地把土豆搬来搬去，只要用根树枝在地上把几个自然数加起来就行了——那些自然数就是那几个土豆集合数量性质的模型，而加法法则则是“搬弄土豆、合计数量”这一繁琐操作活动的简便模型。同样的，概率统计、微积分的大量公式，不过是众多真实事件复杂运动变化规律的模型，用它们算一算，就可以得出天气变化、大飞机试飞、战场动态等极复杂事物的基本变化趋势——并不需要辛苦地跟着风雨跑、拿贵得要命的真飞机去试或者真刀真枪打一仗。

所以容易发现，今天的时代，无论解决哪个领域的问题，政治（比如网络式自动投票）、经济、科技甚至文学艺术（比如动画片制作中的电脑绘画、音乐合成中的MIDI——迷笛技术），都要用到数学、都要用到数学建模方法。

但纯数学研究也要用数学建模方法吗？是的。

数学体系其实是一个模型套，每一步发展都把此前的研究对象用新的、更概括、更抽象的模型来模拟。比如代数：先是具体的数字，然后“用字母代替数”，（a+b）c=ac+bc，这个代数模型极简炼地模拟了无数具体加乘混合运算的规律；此后又创造函数模型，y=f（x₁、x₂、x₃、……），它概括地模拟了多种多样计算、运算的规律；……。又如几何：教具、学具是真实几何体的实物模型，图形是实物模型的模型，解析几何创造了几何模型的代数模型，数理逻辑创造了代数与几何语词推理的符号模型，……可以这样说：要想取得纯数学研究成果，就要会创造新数学模型。

其实应用数学与纯数学是相互联系的，往往一项数学研究产生于应用需要，但随着它的内容越来越丰富、意义越来越大，就会转变成一个纯数学分支。比如概率论，它最初产生于对赌博掷色子规律的应用性研究，现在不成了一门纯数学吗？于是，我们更能明白数学建模方法对纯数学研究的重要价值了。

三、中小学数学同样常用数学建模方法

读过上面那段内容之后，不难推出这样的结论：中小学数学的内容既然无非是纯数学与数学应用，当然常常要用数学建模方法。

可以把中小学数学用到的数学建模方法列举如后：（1）为研究越来越复杂集合元素的多少和次序即“数”，逐步建立数字、字母、式子等符号模型，如自然数1、有理数m∕n、实数a、复数a+bi；（2）为研究各集合数量之间的关系结构即数值计算，逐步建立四则运算的概念模型、乘方开方的概念模型、方程或不等式模型；（3）为研究若干集合数量性质的同异，逐步建立相等=、不等≠、大于＞或小于＜等符号模型；（4）为研究两变量之间的共变关系结构，逐步建立各种函数模型如y=xⁿ、y=a^x、y=logx等；（5）为研究几何形体的形状结构特征，逐步建立大量的图像模型；（6）为研究若干几何形体之间的位置关系，逐步建立相交∠、垂直⊥、平行∥、异面、对称等概念模型；（7）为研究若干几何形体结构性质的同异，逐步建立全等≌、相似∽等概念模型；（8）为研究三角形的边角关系结构，建立三角函数模型；（9）为直观化研究实际问题的数量关系结构，给这些数量关系结构建立几何模型如线段图、表格、统计图、函数图像等；（10）为数值化研究几何问题，给图形的几何性质建立函数或方程模型；（11）为研究随机现象的变化规律，建立概率模型。

也许有人会问，干嘛要从数学建模的角度来分析中小学数学内容的结构呢——理由有三。

第一，如前所述，这样做、这样教才能让学生明白：数学并不是一堆记录绝对真理的死东西，而是用来解决问题（应用问题、纯数学研究问题）的一种思想方法、一种工具即数学模型，所以学数学、用数学是一个创造性的过程。

第二，通向罗马的路有很多条——解决问题的方法、工具并不是唯一的。数学并不是僵死的一堆定理和公式，解决问题的数学之“模”在于自己去“建”。这样学、这样教，有利于鼓励和支持学生自主探究、建立对自己有效的数学模型，促进他们在数学领域的个性化发展。

第三，有了自觉的建模意识与较好的建模能力，解题能力会得到有效提高。举个例子：

苏教版五年级上册第67页第9题，“小明、小华、小力、小强和小海五位同学进行象棋比赛，每两人都要赛一盘。现在，小明已赛了4盘，小华赛了3盘，小力赛了2盘，小强赛了1盘。小海已经赛了几盘？分别是和谁赛的？”（教材附有“连线思考”的提示，遮掉它）

理论上这道题至少有三种解法：运用题目提供的素材语词推理（太难，我没做出来）；用不同字母代替五个人、用每两个字母的组合表示某场比赛，然后根据题目条件列表推出结论（我做出来了，但比较繁）；用五个点代表五个人、用每两点间的连线代表一盘比赛，建立几何模型、连线推理——较容易做出。让学生经历如此多样化思考的磨练，将会获得数学建模的宝贵经验并使解题能力提高。

四、怎样指导中小学生学习数学建模

具体办法很多，每位教师都可在明白前述道理之后去大胆创造，这里仅提几条原则性的建议。

首先，教师自己要有浓厚的数学建模意识。在教学过程中，要把自己当做解决某个问题（应用问题、纯数学研究问题）的探究者，让学生看到自己运用数学建模方法的完整过程：“抽取数学信息→梳理出信息结构以确定拟解决数学问题的类型→寻找可用来解决该类型问题的的已知数学模型或创建新数学模型→运用模型演算出结果→检验结果的适用性”。通过自己经常的示范去熏陶学生的数学建模意识。

其次，在教师指导下，让学生常常经历上面那样运用数学建模方法解决问题的过程。要提请注意的是，不但解答应用题要这样做，即使学新的纯数学知识也要这样做。比如分数概念的引入：怎样表示一个整体的几分之几？不要让学生看书，教师也不告诉他们——让他们自主建立各自的符号模型，再讨论哪种最好，最后与教科书比较，并讨论为什么书上的符号模型最好。

最后，不要局限于课堂上运用数学建模方法，而应通过开放性作业的设计与布置、课外研究性学习的组织与指导，让学生打开眼界、广泛运用数学建模方法研究和解决多种多样的实际问题。

长此以往，中小学生将越来越信任和喜爱数学建模，将积累丰富的数学建模经验，数学建模的意识将逐渐强化、能力也将逐步提高，数学就会学得越来越好。

历史最能培养怎样的思维能力——专家没说清

在培养思维能力方面，每个学科应各展其长，历史也如此。

几年前我对历史所能培养的最重要思维能力提过看法，为何旧话重提？因为《人民教育》今年第6期上首都师大徐蓝教授对这个问题的说法混杂而难以服人：她先提出“时序性”思维能力最重要，显得片面；虽然后面补上纵横结合的“系统性”思维能力，但没说清——何为“横”？时序性与系统性是并列、主次还是包含关系？

不得不试着理顺一下。

一、理解历史光靠时序性思维够吗？

徐教授是这样解释历史时序性的：“历史学科的基础是时间，正是时间这条线，串起了人类从古至今的波澜壮阔的发展历程。……脱离了特定时间，就难以理解任何历史现象，也就难以理解和认识历史对我们今天以至未来的影响”，“时序性作为历史学科的特性，是各国的历史课程标准都遵循的”。所以，徐教授赞成《美国国家历史课程标准》的说法：“时序思维能力是历史推理的核心。”

理解历史当然离不开时序性思维，但光靠它就够了吗？

例1：同样是中世纪“封建社会”，为何西欧的大主教、大庄园主可以与国王分权，而中国却是中央集权、皇帝至上？马克思指出这不仅因为时间的作用，还因为同一时间内两地地理条件、生产方式的不同制约（从而他提出了“亚细亚社会经济形态”重要概念）。

例2：今天我国应试教育猖獗，其原因仅仅是时间性的“惟有读书高、望子成龙”价值观传统吗？同时性制约学校的政治（官员的升学率政绩观）、经济（就业难）、文化（记者报道高考状元的狂热）等因素的作用难道不更大吗？

历史界早有共识：认识历史现象，不但需要了解该现象所依存的“历时性结构”（前因后果），还必须研究该现象所依存的“共时性结构”（同时代政治、经济、文化等方面因素的影响）。

可见，说历史思维只有时序性最重要显得片面。

二、徐教授只好补充“系统性”，但没说清！

为克服片面性，徐教授做了补充：“马克思主义告诉我们，……从横向来看，人类的历史是从原始、孤立、分散的人群逐渐发展为全世界成为一个密切联系的整体的过程。……纵向的重大历史现象会对横向发展形成制约，横向发展也会对纵向发展产生反作用。所以，时序性与系统性是历史学科的基本特征。”

但这个补充没说清：

第一，何为“横向联系”？难道仅仅是人类从“孤立、分散”结为“密切联系的整体”吗？徐教授只说到了社会学里“文化传播”这种横向联系，却漏掉了更重要的横向联系：每一时期社会的政治、经济、文化等多因素交互作用，同时影响着该时期任何重大事件。

第二，“系统性”只指系统内各要素的“横向联系”吗？非也：现代系统论不但研究此类横向联系（对系统结构的静态研究），还必须研究系统结构的演化规律（对系统结构的动态研究——参见后文介绍的系统思维动态性特点）。

第三，根据“第二”，“系统性”就内含了“时序性”，从而打掉了“时序性”独立存在的依据——所以，徐教授用一个“与”字把二者并列是不准确的。

三、用“系统性”还是“综合性”来做历史思维的最大特征？

概括前文可知，历史思维的最大特征是纵横结合的“系统性”（含时序性在内）；进而，历史教学最能培养的思维能力是系统思维能力。

几年前我那篇博文提的是“综合性思维能力”，现在觉得换成“系统思维能力”好些，理由有三：

第一，据百度介绍（建议各位找到这份资料认真学习），“系统思维就是把认识对象作为系统，从系统和要素、要素和要素、系统和环境的相互联系、相互作用中综合地考察认识对象的一种思维方法”， “是迄今为止人类所掌握的最高级思维模式”，“主要以整体性、结构性、立体性、动态性、综合性等特点见长”，——可见系统思维包含了综合性思维。

第二，上述百度介绍还说：

“整体性……一是在思维中必须明确任何一个研究对象都是由若干要素构成的系统；二是在思维过程中必须把每一个具体的系统放在更大的系统之内来考察”——这是横向综合；

“动态性……任何系统都有自己的生成、发展和灭亡的过程。因此，系统内部诸要素之间的联系及系统与外部环境之间的联系都不是静态的，都与时间密切相关，并会随时间不断地变化。……因此，系统……始终处于动态之中，处在不断演化之中”——这是纵向综合。

我在说明“综合性思维”的特点时，正提出了横向综合与纵向综合，——所以换成“系统思维”以后基本内涵没什么变化。

第三，综上可知，虽然提“综合性思维能力”也行，但提“系统思维能力”更科学、更严谨、更精确，也更“时髦”！

所以，我们的历史教学，要依据历史发展本身纵横结合的系统性特征，启发、指导学生运用系统思维去学习和理解，并运用系统思维去思考现实的社会问题，进而探讨解决这些问题的对策。

最后，值得补充的一句是：培养系统思维能力，历史学科的本事最大，任何别的学科都比不上它。

思考专家对语文修订课标的评说

华东师大巢宗祺教授在今年第6期《人民教育》里评说了修订后的语文课标，本文谈谈学习体会。小标题和按语是我写的，引文中的黑体字是原来就有的。

1、“学习语言文字运用”是核心目标（早该如此）

巢：语文课程具有多重功能，涉及丰富的的内容和多方面的目标，而在实际教学中往往有可能只抓住一部分，疏忽了其他方面，脱离了核心的目标。……课程的目标和内容须聚焦于“语言文字运用”，……语文教学必须紧扣语文课程的核心任务——学习语言文字运用。……语言文字的运用，包括生活、工作和学习中的听说读写活动，也包括文学活动。

（按：早该如此！课改以来有种通病就是肤浅追求“情感态度价值观”却严重忽视运用语言【广义的语言包括文字】的知识与能力，——造成这一现象的重要原因之一是教师自身的语言与文学修养偏低。其实，无论那篇课文的德育、美育内涵都需以语言为载体，语言没学好，何谈实现其德、美功能？

语文课程的性质确实“多重”，但正如作者所说，其“核心功能、核心目标、核心任务、核心内容”都必须是语言运用。语言运用不限于课内的“写”，而遍布课内外的听、说、读、写——文学“活动”也是听说读写。）

2、如何协调语言的“实用”与“审美”（值得探讨）

巢：这样一门多方面目标和内容综合的课程，……使它成为以“实用”为基本目标的“语文”？还是以“审美”为基本目标的“语文”？还是“实用”、“审美”等目标协调配置的“语文”？……我们有必要进一步明确它的核心任务，摆正多种关系，在各种目标之间取得协调。

（按：作者没回答如何协调——我们该探讨。第一，据我观察，以往对实用【似可包括对信函、说明文、论文、公文、调查报告等的读写在内】过于忽视——连许多教师都不会写。第二，同时对审美也做得不好，关键是教师自己都不太会文学审美。第三，从课程内容比例上看，是否可将实用与审美分为1︰2？第四，实用与审美应沟通——都依托真情实感。）

3、重视识字、写字（有必要）

巢：在识字、写字教学中，语文教师需要切实转变汉字教育理念，应该认识到学习汉字，不仅在于使学生掌握阅读的工具和书写的技能，而且也有利于增强学生对祖国语言文字的热爱和对中华民族文化的理解，提高审美感受力，还有利于增强规范意识，养成良好的习惯和性格。……《标准（2011年版）》要求小学阶段必须在写字教学投入更多的力量，在“教学建议”中特别强调，“第一、二、三学段，要在每天的语文课中安排10分钟，在教师指导下随堂练习，做到天天练。要在日常书写中增强练字意识，讲究练字效果。”

4、少做题、多读书、好读书、读好书、读整本的书（很对）

巢：《标准（2011年版）》……指出：提倡少做题，多读书，好读书，读好书，读整本的书。……营造人人爱读书的良好氛围。

……应该让学生养成朗读课文的习惯，一些重点课文要读熟甚至背诵；还要引导学生养成课外阅读的习惯，使他们不畏惧阅读长篇著作，而且逐步对经典名著产生兴趣。（按：读书太少甚至不读书已经是全社会的通病，教师要带头扭转它）

5、要培养“非连续性文本”的新能力（应予关注）

巢：所谓“非连续性文本”，是相对于以句子和段落组成的“连续性文本”而言的阅读材料，多以统计图表、图画等形式呈现。它的特点是直观、简明，概括性强，易于比较，在现代社会被广泛运用，与人们的日常生活和工作须臾不离，其实用性特征和应用功能十分明显。……现代学生不仅应该学会通过传统的媒体阅读和表达，还应该能够运用新媒体、新技术来获取信息和交流沟通。（按：这方面我们还做得很不够，尤其是组织、指导学生运用电脑与网络很不够。）

6、要纠正课改中出现的偏差（重要）

巢：《标准（2011年版）》中对语文课程改革试验中出现的一些偏差特别强调要加以改正，例如：教师要加强对学生阅读的指导、引领和点拨，但不应以教师的分析代替学生的阅读实践，不应以模式化的解读来代替学生的体验和思考；要善于通过合作学习解决阅读中的问题，但也要防止用集体讨论代替个人阅读。在理解课文的基础上，提倡多角度、有创意的阅读，利用阅读期待、阅读反思和批判等环节，拓展思维空间，提高阅读质量。但也要防止逐字逐句的过深分析和远离文本的过度发挥。……要让学生在朗读中通过品味语言，体会作者及其作品中的情感态度，学习用恰当的语气语调朗读，表现自己对作者及其作品的情感态度的理解。朗读要提倡自然，要摒弃矫情做作的强调。

二学修订课标：再思专家说法

继续谈学习史宁中、马云鹏对修订课标评说的感想（引文中的黑体字原来就有，各小标题是我加的）。

1、思考结果或方法错了不要紧（很值得注意）

史：学生活动结束之后，老师必须有一个总结。……让学生谈一个东西，不仅仅谈结果，要谈得到这个结果的思维过程。老师对一个学生答对答错的判断，不仅仅要看结果是对是错，还要看他的思维过程是不是有道理。只要思维过程有道理，可能开始的出发点有错误，但整个思维过程是合乎逻辑的，那也是好的。……重在教会他们思考问题。几个问题想错了，不要紧，逐渐地会想问题，这是最核心的事情。这是一种经验的积累。我们中国人总是发明创造不够，就是因为我们在小学阶段就把孩子们给教死了。……

其实老师讲课拙一点不要紧，老师讲课笨一点不要紧，能启发学生思考是最重要的。启发学生思考最好的办法就是和学生一起思考，……

（按：学生出的错不但不要紧而且是很好的教育资源：第一，教学难度应设置在学生的“最近发展区”，于是应允许他们出错；第二，组织学生深入分析这些错误，正是发展思维能力的好机会）

2、一节课别讲太多、千万别反复讲（很重要）

史：一节课别讲太多，多了孩子弄不清什么重要什么不重要，他以为你讲的都重要。我们在修订《标准》时甚至都想，一节课，无论如何，10分钟就可以讲完，顶多15分钟。……在孩子精力最集中的时候把内容都讲完。剩下的时间，启发他思考，讨论，玩都行。讲课千万别反复讲。……不要在旁枝末节上提很多要求。（按：我总是建议，一节课教好一个内容重点、创造一个教法亮点足矣）

3、小学应用题只有两个模型（基本赞成）

史：有个学生跟我说，小学数学的应用题太啰嗦了，有十几个类型。我说就两个，哪两个呢？一个是总量=部分+部分；一个是距离=速度×时间，或者总价=数量×单价，这两个本质是一样的。……其他的模型都是在这两个基础上变化的……过去还有两个模型，现在没有了。一个是注水的问题，一头进水一头出水；还有一个是植树问题。植树问题现在在社会调查上应用很广泛，未来课标可能要加进去。但是这次课标不做大的修订，所以就没有把它加进去。（按：我曾提出，全部小学数学所研究的数量关系结构就是和、差、积、商四种；考虑减、除分别是加、乘的逆运算，可简化为和结构、积结构两种，——而总量=部分+部分、总价=数量×单价则是用实际数量结构作这两种抽象数量结构的模型）

4、统计学的意义是通过数据进行推断（重要）

史：我来编个题：袋子里有5个球，4个白球1个红球。如果从数学的角度来讲，得让孩子验证摸白球的概率是4／5，摸红球的概率是1／5。别那么讲。要从统计学的角度讲。别告诉孩子们袋子里球的情况。让孩子摸，摸完之后，提这些问题：1.哪种颜色的球多？……孩子在不知道袋子里有多少球，也不知道什么颜色的情况下预测到白球比较多，这不就知道一些事情了吗？通过数据来推断一些未知的事情，这就是统计。问题2：摸到白球的可能性多大？因为摸球是随机的，正好答出来是4／5的可能性不大，但是4／5=8／10，因此答出来是7／10与9／10之间的可能性比较大。这个估计与摸球的次数有关。……所以，统计要讲的和数学不完全一样。不是提出一个假说，然后来验证假说对不对，而是通过数据分析，虽然是随机的东西，但是次数多了，它有一个规律，通过这个规律来推断产生这些数据的背景信息，这就是统计学的意义。

（按：几何与代数中的演绎证明，结论藏在条件里、证明只是揭示它，故演绎法没提供新知识，但所得结论具必然性。统计不同，先对事实作统计、再根据统计结果提出猜想性的推断——可多样，使用的是归纳思维，所得推断是新知识——但它不具必然性，即使得出了“规律”也只是正确概率较大的“统计规律”。从此也可看出统计与概率紧密相连——故中小学把二者合称“统计与概率”。）

5、基础知识教学重在理解和掌握而不是死记硬背（已是常识）

马：对基础知识的教学重在理解和掌握，而不是死记硬背多少概念和法则。理解的标志在于能描述对象的特征以及与相关对象之间的区别和联系。掌握是在理解的基础上……能够在具体问题中运用相关的知识。……

6、基本技能教学应淡化对速度的追求（值得重视）

马：基本技能内容包括基本的运算、测量、绘图等技能。……对基本技能的要求一直都离不开“正确、迅速、合理、灵活”等。而在实际教学和测验中，往往把速度看得过重，……并且成为大量训练、题海战术的理由。……从数学的本质考虑，技能的要求应当以正确为重点，在正确的基础上可能会考虑合理，应当淡化对速度的追求。一方面在解决问题的过程中，重在思考，速度是居于次要地位的；另一方面，速度是因人而异的，不能要求大多数学生都达到同样的计算速度。……《标准（2011版）》对于一些基本的运算给出了速度上的建议，如要求第一学段20以内加减法和表内乘法，每分钟完成8-10题。这一要求可以看做是一个参照，大多数学生经过一定的训练完全可以达到，不排除一些学生经过一段时间才能达到这一要求，也会有相当一些学生要高于这一要求。

一学修订课标：深思专家的说法

今年第6、7两期《人民教育》上有东北师大的校长史宁中和教授马云鹏对数学修订课标的评论，读后有所感想，特与各位分享。

1、“双基”改为“四基”（非常赞成！）

“四基”指基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。

马：从“双基”到“四基”是多维数学教育目标的要求。……人们往往在教学与评价中把关注的焦点放在所谓的知识点上，放在所谓的技能训练上……忽视其他方面。然而，数学教育的目标除知识技能外，还应当包括学生多方面的能力、学生对数学思想的把握、学生活动经验的积累以及学生的情感态度等。因而，……必须同时发展学生数学素养的其他方面，……基本思想和基本活动经验正是学生数学素养的重要组成部分。

史：我对我们现在的中小学教材总的来说是不满意的。……概念的叙述和几十年前完全一样，……法则、运算的叙述也和几十年前完全一样，……还是以一个结果的形式呈现，还是让孩子们来背、来记，……基于此，《标准》在《大纲》的基础上增加了基本思想和基本活动经验。一个学科，你学过之后，对这个学科承载的基本思想不知道的话，等于没学。还有，特别是对数学，思维经验是很重要的。因此，希望孩子们在学习数学的过程中，除了掌握必要的知识和技能之外，还能感悟数学的基本思想，积累数学思维活动和实践活动的经验。

2、基本活动经验要在学习过程中积累（要高度重视！）

史：……《大纲》的教育理念是“知识为本”……以知识为本的教育在本质上是结果性的教育。我们教了一些结果，我们没教智慧。智慧不是结果……智慧是表现在过程之中的。而表现在过程中的东西必须通过过程来教育（按：1+1都能得出结果2，某人的过程是掰指头、另一人的过程是心算，后者比前者有智慧）。

马：基本活动经验是在学生参与数学学习的活动中积累起来的。……一般来说，结果性目标是指向基础知识与基本技能的。过程性目标更多地指向数学基本思想和基本活动经验，……学生在经历相关的数学活动中，了解数学知识发生发展的过程，体会数学知识和方法的探究。

……数学基本活动经验的积累依靠丰富多样的数学活动的支撑。……观察、试验、猜测、验证、推理与交流、抽象概括、数据搜集与处理、问题反思与建构等。……其目的不只是为了完成数学知识技能的学习，还是学生数学活动经验积累的重要途径。……

……数学基本活动经验的积累是一个长期的过程。……不能指望一两次活动就能完成。

3、基本思想和基本活动经验的积累必须靠感悟（重要！）

史：活动经验，我想主要是思维的经验和实践的经验，不是解题的经验，当然也包括解题的经验、分析问题的经验、解决问题的经验。（按：注意，史校长后面又指出：“过去在《大纲》里谈到……分析问题的能力和解决问题的能力，这次在《标准》中又增加了发现问题的能力和提出问题的能力，这样就从‘两能’拓展到了‘四能’。”）……

思想的感悟和经验的积累是隐性的东西，光靠老师讲是不行的，必须自己感悟，是悟出来的东西，不是听出来的东西。

4、数学基本思想包括抽象、推理、模型三个（我怀疑？）

马：数学基本思想主要是指数学抽象的思想、数学推理的思想和数学模型的思想。之所以把这些称之为数学基本思想，是因为它们贯穿于数学的学习过程，是对数学本质理解的集中体现。……数学基本思想应当成为学习掌握各部分数学内容的魂，成为形成数学概念、建立数学知识体系、思考和解决数学问题的主线。

史：基本思想很多，有数形结合、等量替换等，那么最核心的思想是什么呢？就是学完数学之后，很多数学知识你都忘了之后，你还能留下来的东西。这些素养是什么呢？我想大概有两个标准。一个是，数学的产生和发展一直依赖的思想是什么；一个是，学过数学的人和没学过数学的人有什么差异。……我提出一个看法，数学思想主要有三个：一个是抽象，……学过数学的人抽象能力比较强；一个是推理，学过数学的人推理能力比较强；一个是模型，学过数学的人应用能力比较强，除了直接计算之外，数学的应用主要是建立模型。

（选择标准应补充二个：“基本性：是其他思想之母”、“优势性：别的学科不如自己强”。如此则应怀疑史和马的选择结果：（1）“抽象”是数学最强吗？语言文字难道不够抽象、理论物理难道不极抽象、哲学难道不更抽象？（2）“模型思想”基本性不够，“结构思想”是其母——两个集合“同构”即结构相同时，一个才能成为另一个的模型。（3）从古至今，“量化”难道不始终是数学的基本思想？今天的“数字化时代”其实就是“量化时代”。何况“数学抽象”的集中体现就是把研究对象抽象成“数量”。（4）无论那个时代，数学不总是追求建立能化新为旧、化繁为简的知识体系吗？总之，我觉得数学的基本思想应包括量化、逻辑化、结构化、化归化四个。）

24、八下§5《概率的概念》：核心概念是关键

读本文之前，请各位先读前一篇谈概率论起源的《导言》，这有助于更好地设计本章教学。

一、理解核心概念是关键

为何本章用“概率的概念”作主题？因为理解核心概念是学懂、用好概率论的关键。以下探讨概率论的三个核心概念。

1、随机性。

不论学哪门学科，先要搞清它的研究对象——它是研究什么的。

本章教材指出，概率论研究的对象不是“确定现象”而是“随机现象”（即具有随机性的现象）。对这两类现象还有其他命名，如“必然现象与或然现象”、“肯定现象与可能现象”等等，意思都一样，不过正规的概率论把后者称为“随机现象”。

教材说随机现象的根本特征是：“在基本条件相同的情况下，可能出现不同的结果，究竟出现哪一种结果，随机遇而定，带有偶然性。”此说有所不妥：“可能出现不同结果”是否意味着“可能出现不同结果也可能出现相同结果”？但如此就错了：出现不同结果不是“可能”而是“肯定”。百度的说法是：“在一定条件下进行试验或观察会出现不同的结果（也就是说，多于一种可能的试验结果），而且在每次试验之前都无法预言会出现哪一个结果(不能肯定试验会出现哪一个结果），这种现象称为随机现象。”

百度的说法更准确：学生此前学过的数学都只研究确定性现象，其结果有且唯一（可称“必然数学”）：1加1必然等于2；（x+y）²必然等于x²+2xy+y²；n边形内角和必然等于（n-2）·180⁰。概率论则只研究随机性现象，其结果有但不唯一（可称“或然数学”）。

2、等可能性。

中小学概率论只研究最古老、最基本的随机现象——古典概型，其各种结果的发生概率称为古典概率。古典概型的一大特征就是“等可能性”，故它又称“等可能概型”。但什么是等可能性呢？

教材第157页用实例来描述它：“硬币是均匀的、对称的，因此每一次掷硬币，着地后正面向上的可能性与反面向上的可能性是一样的。”郭贵春教授说得更一般化：等可能性是指随机现象各种结果的出现几率相同（科学出版社《科学哲学的新进展》第186页）。

注意这一点对学好概率论很重要。以掷骰子赌博为例：为保证掷出各种点数的可能性相同，骰子必须形状规则、质地均匀，否则就是有“老千”——他企图更多掷出自己下注的点数！

3、独立性。

古典概型的另一个重要特征是“独立性”。

教材正文没提它，只在最后的《数学与文化》中旁敲侧击了一下：“按照独立事件的概率计算方法……”。郭贵春在那本书第186页举例描述说：“将一个或多个趾骨掷出去，……每次投掷的结果也互不影响。”一般化地说就是：随机现象发生的任一次结果，对其他任一次结果毫无影响。

为让学生较好理解概率论，建议补充上述内容。

二、频率与概率是何关系？

频率、概率的区别和联系较难把握，而教材又没对它做文章——只好我们自己补充思考。

1、频率与概率的不同：

（1）频率描述已发生的既成事实，如蒲丰掷完了4040次硬币、的确掷出了2048次正面、算出其频率为0．5069。概率则是对尚未发生情况的预测，如网载飞机发生死亡性空难的概率接近百万分之一，意思是“如果你明天去坐飞机有百万分之一的可能摔死”——但你还没去呢，这只是对明天危险的预测。

（2）既然如此，频率就是肯定性的精确值，如蒲丰掷出正面的频率0．5069是精确计算出来、无可怀疑的。概率则只是对可能性大小的估计值，不见得精确——比如就算你掷1亿次硬币，也几乎可以肯定不会恰好掷出5千万次正面！

总之，概率之“概”就是“大概”、“可能”的意思。

2、频率与概率的联系：

对此教材第158页说得清楚：“在随机现象中，做了大量试验后，一个事件发生的频率可以作为这个事件的概率的估计值。”

三、要关注归纳思维方法的教学

归纳思维方法对概率论之重要，前一篇《导言》已经说过。

本章教材多处设置了归纳思维方法应用：开篇的《动脑筋》列出10种现象，就是想引导学生把它们分别归纳为“确定性现象”和“随机性现象”两类；此后第二个《动脑筋》，又介绍了三位大数学家如何从大量试验结果中归纳出“掷出正反面频率几乎相等”的结论……至于其他课文和习题中诸多归纳思维方法的应用，就不一一枚举了。

建议：不要只重视核心概念的教学，还要重视归纳思维方法的教学，如此才能让学生学到运用概率论解决问题的方法和能力。

四、概率论的重大意义

对此前一篇《导言》说过，本文略作补充。

1、概率论的重大应用意义：

通观本章教材，其所举实例涉及到日常生活、气候、军事、生产、经济、科研、文化等诸多领域，可见概率论的应用何等广泛！

2、概率论对数学发展的重大意义：

沈文选在其《中学数学思想方法》（湖南师大出版社1999年版）中指出，概率论是数学发展第四次重大突破的主要标志：

“从必然数学到或然数学是数学思想的一次深刻变革。……或然现象是指在一定条件下可能发生某种结果也可能不发生某种结果的现象。……或然现象是不能用必然数学进行精确的定量描述的。……当同类或然现象大量重复出现时，便呈现出一种总体规律性，这就是统计规律性。这种统计规律性的存在便是或然数学的现实基础。……通常把概率论的出现作为或然数学产生的主要标志。”