大学终于从神坛上跌下来了！

中国几千年“惟有读书高”，近几十年大学更被十亿百姓顶礼膜拜供为“神坛”，哄着、求着、逼着孩子头悬梁、锥刺股，煎熬于书山题海……一朝金榜题名登上大学神坛，便孩子前程似锦、全家跟着享福。

但中国的大学终于从神坛上跌下来了！

世界性权威指标说，当毛入学率达到15%以上时，高等教育就进了大众化阶段。中国早进了这个阶段，今日还要更进一步大众化，刚颁布的全国教育发展《规划纲要》鲜明地说：“高等教育大众化水平进一步提高，毛入学率达到40%”。

但“大众化”是个什么样子？

在中国就是大学从神坛跌下、落入红尘，彻头彻尾庸俗化。

没有谁拉它，是它自己不争气跌下来的！

先是大学自己从神圣的“学府”跌成了铜臭熏天的“学店”。

为了钱，滥竽充数、疯狂扩招、疯狂升格——象铁人王进喜说的那样“有条件要上，没有条件创造条件也要上”。转眼间，中专成了大专、大专成了学院、学院成了大学，狭窄的院墙里挤满了呱呱待哺的学子，学校却变着法子收费。领导捧着白花花的银子笑哈哈，教育质量却一落千丈！大学早已不是“学府”而是只想着怎么赚钱的“学店”。

然后是教授们自己从圣洁的“专家学者”跌成了追名逐利的“学贩子”——好的也有、凤毛麟角。

以量充质、把生意做大，一个教授带上二三十个研究生；垄断行市、多收版费，一本自己编的教材用上一二十年；广募资金、多抽提成，一年申报几个、十几个有拨款的科研课题；明星走穴、广种薄收，正业不好好务到处搞兼职、上讲坛；连这些本事都没有的，就写假书、发表假成果，甚至造假学历、假文凭！装的道貌岸然，做的却是为富不仁之商贾。

最后，自然是曾被敬为“天之骄子”的大学生跌成了庸碌无为的混混。

上课有人代点名，考试有人代考，毕业论文有人代笔；实在逃不掉就舞弊、作假；热衷不已的则是泡网、泡妞、泡追星、泡蹦迪；还觉得无聊就去给芙蓉姐姐捧场、拉票；最终一切都无聊，或者恐惧未来生活的艰辛，便去跳楼——一切的一切，beybye!。

这就是中国式“高等教育大众化”的结果：

喜滋滋带着洋人发明的博士帽毕业，却没什么真才实学，文凭几乎贬成一张废纸，本科生甚至硕士都没人要；也不是绝对没人要，怪他们眼高手低、鄙弃俯就，没本事干的地方拼命挤、能用他的地方决不去！父母们不断对中国的大学失望，先是拼着命让读完本科的孩子逃到国外读研，后来是读完高中逃到国外读大学，现在已经是大批的初中甚至小学孩子也往国外逃！

对如上恶语相向，本人准备了几个辩白：

第一，“你只看支流不看主流”！

好吧，就算那些情形是支流，可癌症病变区只占身体的很小一部分、也是支流，如果你恐惧癌变，那该不该恐惧中国高等教育的这种恶疾？

第二，“你幸灾乐祸！”

Yes，我的确幸灾乐祸：因为中国高等教育此灾，是它骨子里腐朽体制之祸，此灾难治说明这一体制已成了扁鹊眼里的蔡桓公、“病入膏肓”——唯一的办法只是杀了它（仁慈一点的话可以让它安乐死），否则它还会感染别人。

除掉了这个祸害，不但重造新的、能健康发展的中国高等教育有望，又能断掉祸害中国千万中小学幼儿园的应试教育源头，还能推进全社会风尚的改善——如此好事，干嘛不拍手称快？

您赞成哪一种数学知识结构分析？

学习了著名叶澜学派小学、初中数学知识结构的分析框架（见《“新基础教育”数学教学改革指导纲要》，叶澜主编，吴亚萍著，广西师大出版社2009年4月版）之后，觉得不很满意，便斗胆另做了一番分析——诉诸朋友们，您赞成哪一种？

以下说明两种分析框架。

一、将小学、初中数学划分为数与代数、空间与图形（课标修改稿改为“图形与几何”）、统计与概率三大“结构块”。我赞成但不满意——没分析三部分何以结成整体。

数学的整体性、统一性何在？在于它是一种独特的认识方式，用一系列基本思想方法来统摄对任何领域的认识：它把任何对象都作为一个整体，研究其结构并随之研究所得各结构之间的关系；它不满足于定性研究而追求定量研究；它期望构建逻辑严谨的知识体系；还期望只确定不多的基础性内容而把其他复杂内容化归于它们。

小学、初中数学整体中“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”三个结构块，不过是这些基本思想方法施展于三类对象研究得出的三类结果而已！

随后来看看这三类结果（其中我所作分析因篇幅限制，只得简洁叙述，请予深究）。

二、对数与代数结构块内部结构的分析，基本赞成，但觉得还可解说得更深刻、更准确。

叶澜学派的分析是：“数与代数知识结构块划分为三个不同分支的知识结构链，第一个分支是数与式的知识结构链，包括数与式的认识、数与式的运算；第二个知识分支是数量关系的知识结构链，包括数量关系的算术运算、数量关系的方程与不等式运算；第三个知识分支是规律探索的知识结构链，包括不变规律的探索（如加法运算中的交换律和结合律等），共变规律的探索（如减法运算中被减数不变的情况下减数变大差变小的规律，及函数等），……

从每个知识分支的纵向关系来看，体现了知识从简单到复杂、从低级到高级、从具象到抽象的发展过程。从知识分支之间的横向关系来看，数与式是对基本概念和原理进行建构生成的问题，数量关系是对数与式的基本概念和原理进行灵活运用的问题，规律探索则是从更深的层次对数与式的内部进行规律探究的问题”。

所分成的三个部分、它们之间的纵向关系我赞赏；但对它们之间横向关系的分析，尽管正确、但不够细致与深刻。

我对数与代数三个“知识结构链”横、纵两方面关系的分析是：

1、“数与式”研究单个集合的结构，是对研究对象的抽象：

如“3”是对某类集合的抽象，舍弃其组成要素的其他属性而保留两个属性——结构规模大小是“3个要素”即“3”的“基数”属性（所以接着研究比较大小）、结构各要素秩序是“1→2→3”即“3”的“序数”属性（所以还要研究排列顺序）。“式”生成于进一步对数的抽象，运用可代表任意数值的字母把研究对象从常量变成变量；“式”以一次单项式为基点，通过运算连结出其他单项式和多项式。

2、“运算”（包括数值计算和式的运算）研究多个集合结构之间的关系，是对数学活动本身的第一次“反身抽象”：

如1+2=3，是指集合｛a｝、｛b，c｝可并成｛a，b，c｝这一关系，即两结构可生成第三结构；又如a²-b²=（a+b）（a-b），是指两个数量关系结构“先平方再求差”与“先求和与差再求积”等值；再如把高次方程化为若干个一次方程的运算，是指前者与后者的解集结构相同。

这也是抽象，它不是对研究对象的抽象，而是对数学活动本身的抽象即“反身抽象”（如把“合起来、一共”等活动抽象为“加法”，再把相同加数的加法抽象为乘法等），以此来研究某类数学活动的共同规则与规律。

3、“运算规律”（包括不变规律和共变规律）研究各类运算本身的的变化规律，是再一次反身抽象：

对各类运算之数学活动本身再次反身抽象，舍去运算的对象、规则不管，只研究运算发生变化时的两类规律：第一类，某运算结构内各要素之间的共变规律（如乘法中某一乘数与积同倍扩缩规律）；第二类，算法改变但结果不变的规律（如分配律“先加后乘与先乘后加结果不变”）。

三、对空间与图形结构块内部结构的分析不理想。

叶澜学派的分析是：“……划分为三个不同分支的知识结构链，第一个分支是图形认识与论证知识结构链，主要包括一个图形的初步直观认识、要素认识、类型认识、特征认识和性质研究，以及两个图形的关系研究。第二个分支是图形测量与计算知识结构链，主要包括一维的长度的认识、测量工具和度量单位，以及平面图形周长的计算；二维的面积的认识、测量工具和度量单位，以及平面图形面积的计算；三维的体积的认识、测量工具和度量单位，以及物体表面积和体积的计算，还有数与形结合问题的计算等。第三个分支是图形位置与变换知识结构链，包括位置不变的认识（位置、方向、坐标），位置变化的认识（图形的三种运动变换：平移、旋转和对称）。……

从每个知识分支的纵向关系来看，体现了图形认识从外部直观到内部要素认识，图形研究从内部性质到外部关系研究，图形测量从一维……到三维……的计算，图形运动从位置不变到位置变化的发展过程。从知识分支之间的横向关系来看，图形认识与论证部分是对物体的形状进行特征认识和性质研究的问题，图形测量与计算部分是对物体的大小进行比较测量和计算的问题，图形位置与变换则是对物体的空间位置进行关系研究的问题”。

上述分析显得杂乱、联系不明。我的分析简要说来是：

1、对空间的研究：

位置与方位的语词表征（上下左右前后或东西南北上下），位置、方位的的直角坐标表征。

2、对图形的研究：

（1）对单个图形形状结构的研究，先定性后定量、先简单后复杂：

A、定性研究：从直观描述到逻辑定义，关于形状结构的性质定理和判定定理，复杂图形形状结构向基本图形的化归，图形在平移、旋转运动中形状结构的不变性。

B、定量研究：研究图形的度量性质（结构大小），一维的长度、二维的角度与面积、三维的体积。

（2）对若干图形之间位置关系的研究，先定性后定量、先简单后复杂：

A、定性研究：用语词描述点之间、直线之间、角之间、面之间、形或体之间、或前述要素之间的相离、在上、经过、重合、相交、垂直、平行、异面、平分、内分或外分、对称等位置关系。

B、定量研究：将上述各种位置关系的语词表征转化为基于点之坐标的数（式）表征。

 四、对统计与概率结构块内部结构分析的略为深化。

叶澜学派的分析是：“学校数学知识主干中的数知识也好，形知识也好，他们都是以确定现象为研究对象，……而统计与概率则是以不确定现象为研究对象，主要研究这些随机现象变化发生的统计规律性。统计与概率可以分为两个不同分支的知识结构链：一个分支是用抽样方式进行的描述统计，另一个分支是以概率方式对样本所属总体进行的推断统计。”

赞成，特别是把苏教版小学教材中所称的“肯定性现象”、“可能性现象”及“不可能现象”改称为“确定现象”与“随机现象”，很好——更为简单明确。

但对前述划分是否可作如下稍微深刻一点的解说：

统计是概率的基础。所谓随机现象，意味着它会发生多种状态，而每种状态出现的次数会形成一组数据。所谓统计，是研究这个已生成的数据组中各数据的分布结构，而这个分布结构的特征（渐增或渐减、集中或分散等）即该随机现象所遵循的的统计规律（所谓“统计规律”可通俗地理解为“大约如此的规律”）。凭借这个已发现的分布结构特征，我们可以推断此前或此后（真实情况尚未得知）该数据组变化的情况与趋势——而这就是概率的任务。

被恶劣功利化了的艺术教育

近来一位艺术教育界的热心朋友建议讨论一下艺术教育的核心价值，可我毫无心情——面对大中小学艺术教育的恶劣局面，光我们俩傻乎乎地探究真理又有何用？

1998年，著名学者滕守尧曾在四川人民出版社出版的《美学设计艺术教育丛书》总序中忧虑地指出：“自从已故宗白华先生在东南大学开设艺术学课程至今，我国艺术教育已经走过了大半个世纪的历程，但始终没有突破性进展，多数学校的艺术教育仍然以艺术技法教育为主。……但这条路充满陷阱，弄不好就成为匠人。所谓匠人，就是只有技法，而无思想，更谈不上创造性。”

12年过去了，今天的局面如何？我看是原来的病没治好、又得了更严重的新病！

思想和创造性仍然没有，匠人不少——不，是太多，以致很多连饭碗都弄不到；随着大学艺术院系的疯狂扩展，质量严重下滑；中小学幼儿园相当一部分搞什么“艺术特色”，一方面使艺术教育恶劣地功利化，一方面还助长了大学艺术院系的畸形发展，造成恶性循环……

让我们看几个实例。

上世纪末某年，因工作需要接待七八位来自全国的音乐教授，非常高兴，抓紧机会请教“为什么许多学者认为美育可以代替宗教”，不承想教授们个个哑然无语——我幡然自责：他们只会操弄弹拨乐、不懂美学，干嘛哪壶不开提哪壶，“喝酒喝酒，不谈工作！”

也是上世纪末，我女儿从某师大音乐教育专业毕业，让她把学过的所有教材给我看看。一本本翻过，除开《基本乐理》和《和声对位》两本，我命令“其他的都丢掉”！女儿不解，我告诉他：内容陈旧、观点落后，甚至还残留着极左时代的遗毒——比我这个学数学的看过的书还差！去年她又从这所师大音乐系硕士毕业了，可为了写论文，依然不得不借我读过的美学书去参考——还只能从中挑一本浅的。

今年又有一个亲戚的女儿从师范学院音乐教育专业毕业，可连续两次参加竞聘（中学、小学各一次）都被淘汰——不奇怪，她只会弹一点钢琴，唱歌、跳舞都不行！另一位亲戚的儿子上了一所大学音乐系的录取线，可我早就知道，他根本没有乐感、连琴谱都哼不出！

为何大学艺术生素质如此之差？因为中小学时他们大多是“临场紧逼”出来的，毫无艺术基础，再加上大学管理和教学谁都知道的薄弱不堪（比如师范生的实习就是混鬼，几个月只上一节课，还怂恿学生自己去找熟人填考核表）。我市高考业绩最突出的美术老师曾经深有体会地告诉我：“我不喜欢半路接别人的学生，宁肯带毫无基础的高二学生——只要努力画一年半载，考个本科没问题。”从大面积来看，考不上理科的去学文科、文科估计也考不上的就去学艺术——这早已是众人皆知的升学“捷径”。正因如此，某次请专家举办“美术素质教育”讲座，她提倡“放手创作、以不教为教”，可刚讲了半截就淹没在台下美术老师们的一片质问声中：“请问这样怎能考上大学？”没办法，我只好自己上台“劝架”……

有人会指责我“用个案妄作结论”，那好，我们看看大范围的情况。早有报道，每年高考，艺术类院校招生报名处人山人海，录取比例却只是几十分之一——难道真的中国艺术苗子如此众多？还有报道，湖南去年20个最难就业的专业中，不论本科还是硕士，艺术类都高居前三。我市九所高中今年招聘艺术教师不到20个，参加竞聘考试的却是600多人。如此错乱的局面，难怪发达国家根本不承认中国的艺术类大学——《北京人在纽约》里，在乐团拉大提琴的男主角不是只能在美国洗盘子？

大学的错乱，导致了中小学幼儿园的错乱。在痴迷的升学梦诱惑下，这些学校中的许多都努力创建“艺术教育特色”。可你深入去看，哪有什么艺术教育特色，不过填鸭式升学预备教育而已！这些特色建设与绝大多数教师、学生无关，只面向极少数“艺术特长生”；违背教育法规、政策和教育规律给予这些学生种种“优惠”，逼着他们只练技能、少学文化、精疲力竭地片面“发展”；学校还通过种种名目的收费（甚至和艺术高考补习学校勾结收费）创收；着急国内大学难于挤进，还“放开眼界”勾上了外国教育中介！一位高中校长和我商量：“学校想创建美术教育特色，能不能帮我们向教育局争取跨范围招美术特长生的权力？”我回答说：“靠别人的生源创自己的特色，你们的功劳何在？别人是不是被欺负？”

总而言之，从大学直到幼儿园的艺术教育，不但只重技能操练的旧病没治好，还添上了更严重的新病——那就是恶劣的艺术教育功利化！

当然，传统美学主张艺术完全非功利性过于偏激。在“生活艺术化、艺术生活化”的今天，面对亿万普通民众对艺术化生活的渴求，鼓励艺术从象牙塔走进日常生活是必然的和正确的。也就是说，艺术不但应以非功利性的“审美教育、情感教育、人格陶冶”等功能为主，也应开发和实现其“生活实用”这种功利性功能，甚至不排除其解决就业问题的功利性功能。

但问题是中国的艺术教育走向了可怕的极端，它本末倒置地把艺术“服务于升学就业”这个最功利化、最低俗的功能拱手放到了至高无上的位置。于是造成了两个相互助长的严酷后果：一方面使高校乃至基础教育中艺术教育的质量不可避免地持续下滑；另一方面它诱发了全社会的“艺术教育癫狂”，而这种疯长反过来又引发了艺术类毕业生的就业难。

不知道教育部的领导们干什么去了，面对这么严重的局面，他们竟然熟视无睹、毫不作为！

在这种令人痛心而无奈的情势中，我们还来讨论中小学艺术教育的核心价值——岂非“痴人说梦”？

于是无语……

对汉族主流文明的一个尖锐批判

有篇一万六千字的长文很值得认真一读：王中宇的《社会系统与生态系统——观察生态问题的另类视角》，原载2010年4月29日《科学时报》，转载于《新华文摘》2010年第13期。

该文的尖锐观点不但对思考生态保护问题、也对我们思考其他任何领域的问题提供了崭新的、发人深省的视角：延续成千上万年的、我们大汉族的主流文明犯下了大量不可挽回的错误，并且还在犯大错误！

一篇短短的博文不可能把王中宇先生的深思熟虑全面展现，本文仅介绍他的基本观点，并对照着探视一下我们的教育沉疴。

1、2010年的西南大旱“一分天灾，九分人祸”。

《上海证券报》评论版主编寒冰对西南旱区进行了实地考察，得出了如上严酷结论。

对照：今日中国教育积重难返的种种沉疴，比如中小学疯狂肆虐的应试教育、高等教育的质量危机、校长与教师队伍的沉沦、学前教育的混乱无序等等，一分天灾都没有，全是人祸。

2、造成西南大旱的人祸，主要是汉族主流文明之祸。

王中宇先生举了大量的历史与现实事例说明：

长期生活在西南地区的少数民族如彝族、哈尼族、瑶族、苗族、拉枯族、佤族、布朗族、基诺族、景颇族、德昂族、傈僳族、怒族、独龙族，表面上是汉人瞧不起的“刀耕火种”落后、低效文明，实际上与生态环境极为相宜：他们让草木基本上顺应自身规律生长，取之有限；他们极巧妙地设计生存环境、生存方式，与大自然和谐相处；他们甚至学会了控制人口，各个村寨长期保持稳定的人数。正因为如此，几千年来大西南不但没有大旱，反而向广大汉族聚居的内地输送了极为宝贵的水资源（流出了湘江、珠江，并为长江提供了充沛的水源）、木材资源，为中华文明作出了伟大的贡献。

可一旦汉族大量移居西南，便用毁林开荒、精耕细作、一年两熟、开矿办厂、盖高楼大厦等等掠夺大自然的主流文明改变了生态环境。各少数民族在靠着这种文明有钱有势的汉族面前，如不汉化便只能退避三舍，被迫迁居更偏僻、更艰苦的深山老林。

而正是这种汉族主流文明，才是大幅度破坏环境、造成西南今日连年大旱的罪魁祸首。

对照：教育也同样被儒教这个汉族主流文明毒害。

权力集中于中央政府官员（教育部荒唐要求全国学校“唱京剧”——如果各地长官能参与决策，至少越剧、豫剧、秦腔也能唱吧）；造成全社会“官本位”价值观，人山人海大考公务员；地方长官和校长们沆瀣一气，泯灭了教育良心、只靠压榨学生提高升学率来为自私自利的“政绩”镀金；连大学这个崇高的“民族精神摇篮”都被官场化；逼得亿万家长对应试教育既恨又怕，倾家荡产也只好追随；“德治重于法治”的传统（其实是保护官员们既得利益的借口）又使种种教育沉疴看不到被治理的希望。

 3、这种人祸由来已久、仍在延续。

作者还指出汉族主流文明的这种罪孽由来已久。我们都知道这些事例：黄土高原的恶化历史、内蒙古沙漠的危害日重、各大湖泊的日益萎缩……

祸害还在延续：我们不但被昆明湖的被侵占、污染所震惊，还担忧长江上游大建水坝和电站的严重后果……

对照：网上报道，启动于去年的成都猛治“奥数热”可能已经失败，各种上级文件直至中央级别的《教育中长期发展规划》对应试教育和学生过重负担仍然羞羞答答、不愿下猛药！

出路何在？

不知道，——但至少先要沉痛反思大汉族主流文明，认识到它从来的严重危害，认识到它没有前途！

如果还象某些官员和所谓“国学专家”那样，一味痴迷于以儒教为代表的大汉族主流文明，那我们的民族和国家可就真要万劫不复了……

佐藤学对东亚教育的深刻批判

（《全球教育展望》常发表日本东京大学佐藤学教授的观点，该杂志主编、华东师大钟启泉教授则常与他对话。2010年第6期发表了佐藤学《叩问“学力”》一文，视野宽广、观点尖锐，摘要如后。添加了小标题，并写了自己的一些想法。）

    一、东亚诸国“学力神话”破灭，学生严重厌学

这里所谓的“东亚国家与地区”是指中国大陆、北朝鲜、韩国、日本、台湾、香港、新加坡等七个国家和地区。

“厌学”是东亚国家和地区的特征性现象。

数十年前的日本，无论是儿童的学习积极性还是对学校的信赖，对教师的信赖与尊敬，在世界上都是名列前茅的，发挥着“学力神话”的效力。“学力神话”在韩国和台湾也发挥了超越日本的效力，近年来在中国大陆也在发挥着奇效。例如，韩国普通高中生从早上7时至晚上10时在校学习。……中国城市的高中生更为惨烈，每天的学习从早上6时至晚上11时。

但是，“东亚型教育”……随着经济转入低成长时代，“学力神话”一旦破灭立刻就显示出破绽了。……日本的儿童在高速成长期曾经是世界上第一的学习动机，如今，日本儿童的学习积极性跌入世界的最低谷，……

（按：从小学直到大学的普遍厌学已让我国教师大为头疼。有人告诉我：不但日本、台湾早已出现大批不读书、不就业、一辈子吃父母的“啃老族”，在我国一些大城市也开始有一批中小学生拒绝上学、拒绝考试，家长和教师束手无策！即使那些表面上不断在做作业的中学生，其内心也是烦透了、恨透了！这反映着中国学生不再像以前那样崇拜读书、崇拜升学。

日本的今天就是我们的明天，“学力神话”在破灭。）

二、破灭的原因是旧学力不适应新的社会需要

东亚国家和地区通过实现基于学力竞争与应试竞争的高效的教育，从而实现了教育与产业的“压缩式现代化”。世界独占鳌头的学力就是其产物。

（按：佐藤学对“压缩式现代化”的解释是，GDP以10%左右的年增长率急速增长、高中与大学的入学率也急速增长。）

“东亚型教育”是适应产业社会的教育，产业社会形成金字塔形的劳动市场（按：蓝领极多、白领不多、金领更少，像个金字塔）。

但是，……经济的全球化，包括日本在内的发达国家急剧地从产业主义社会转型为后产业主义社会。企业超越了国家的疆域转型为跨国企业，为了寻求廉价劳动力而转向海外。由于这种全球化，金字塔型劳动市场的底部瓦解了（按：即对国内蓝领的需求大幅下降）。

在产业主义社会里是以商品的生产与消费占据经济活动中心的，在后产业主义社会里，信息与知识的交换以及人际服务成为经济活动的中心。后产业主义社会也称为“智能社会”。在智能社会里，“知识的创造与交流”替代了“商品的生产与消费”，成为经济的中心。产业主义社会里发挥了拔群的效力的“东亚型教育”在转向后产业主义社会的过渡中发生了极大的龃龉（按：jǔyǔ，上下牙不对应，比喻“抵触”、“不合”）。这样，即使在企业与学校之间，“学力神话”也破灭了。

（按：中国前几十年的急速发展以低端产品为依托，只需要仅具备读写算“双基”的初中甚至小学毕业生；随着信息经济的急速发展和经济全球化的推进，特别是两轮金融危机的刺激，中国经济急需转型，企业需要大量知识丰富、能力强、富于创造精神的新型员工，至于所需不断减少的廉价蓝领则可到另外的不发达国家雇佣；但陷于传统应试教育泥沼不能自拔的中国学校不知悔改，培养不出新型员工，于是就连本科和硕士毕业生都大量失业。）

三、出路在于寻求新的学力

因此，学力问题的核心在于，如何从“东亚型教育”的藩篱中解脱出来，重新界定适应新型社会的学力……

“读、写、算”就是“基础学力”吗？……倘若把“读、写、算”视为单纯地掌握读、写汉字的能力与计算能力，那就不能称之为“基础学力”。……例如，“会写信”不仅仅“会写字”而已，而是意味着能够运用“信函”这一种样式的文体与表达。……

基础知识与基本技能并不是通过反复练习来习得的，而是通过经验，功能性的加以习得的。（按：知识与技能要通过“用”来习得，机械性地大量解题效益很低。）

“学力”并不是靠单纯的累积形成的，而是借助高端引领才得以形成的。……在学习中需要的，并不是在儿童不理解的时候，先降低程度再自下而上地提升，而是通过伙伴与教师的帮助，模仿理解事物的方法并加以“内化”。学习是需要“冲刺”与“挑战”的。（按：随后佐藤学举例证明：把学生按程度分班，对差班教少一点、容易一点，结果却很不好。可这种做法仍在中国泛滥成灾。）

把“知识与技能”的教育与“兴趣、动机、态度”的教育对立起来……“教”与“学”对立……“指导”与“援助”对立……“教师中心”与“儿童中心”对立……“学科系统”与“生活综合”二元对立……以这些二元对立的概念构图来探讨教育改革的舆论本身，就是东亚教育根深蒂固的殖民地主义体制的反映。克服二元对立概念构图的新型学力观的创造，正是我们所祈求的。（按：佐藤学的意思是，在这些似乎都是“反义词”的一组组概念中，保守派总固守“知识技能、教、指导、教师中心、学科系统”一极，而激进派则固守“兴趣动机态度、学、援助、儿童中心、生活综合”另一极。这种二元对立是错误的，必须把它们有机结合。）

该有多少老师成为优秀者？

讲座室里叽叽喳喳的二百多人，一年一度的转正培训又在进行，我等着上自己的课，却恍惚间望着这些年轻人陷入了沉思。

头脑里仿佛一正一反两个人在辩论。

正方：快十年了，在这个讲台上迎来过、送走过一二千个年轻人，该出人才了——马克思忧郁地说“我播下的是龙种，收获的却是跳蚤”，究竟有没有龙种长成龙了呢？

正像马斯洛论证的，几十年来熟悉过的那无数年轻人几乎个个有希望优秀地自我实现——“人皆可以为尧舜”。但事实令人失望，绝大多数终究庸庸碌碌。

令我忧郁……

反方：龙多了不行，“龙多旱、人多乱”；生态平衡需要的是高级、中级、低级生物各得其所；社会良性发展需要的是多层次人才，比如中国现在最缺的就不是本科生而是大专层次的职业技术人员。

教师队伍也一样，都是特级教师，谁服谁？怎么管理？

正方：对全国十三亿人来说固然如此，但毕竟教师本来就应该是其中的佼佼者，正所谓“人类灵魂的工程师”。否则，一个民族、一个国家如何进步？

反方：人类的成长不是教师教出来的——不要把教育的力量看得太大。有文字的文明史只有几千年，那之前的十几万年甚至几十万年根本就没有学校、没有教师，人类怎样成长的？即使有了学校和教师之后，孩子们也主要是向父母学习、向生活学习、向职业岗位学习，学校起的作用并不很大——所以今天才提倡“学习型社会”、“学习型组织”、“无围墙学校”、“终身教育”。

正方：照你这么说就不需要学校了吗？

反方：还需要，但它只是众多教育提供者中的一个、中介性调控性的那一个。

正方：难道教师不应当比芸芸众生更优秀吗？

反方：相对优秀一点就可以了，无止境地优秀是不必要也不可能的，再说实际上我们的二千万教师比芸芸众生还是优秀得多的。

教师也是人，不应该也不可能要求他们只全心全意地工作、奉献——休闲、旅游、购物同样应该属于他们。

正方：我们设想一下：如果大家都是特级教师或者特级教师比现在多几倍，难道不是好事吗？对国家、民族是好事，对教师自己做出事业、提高社会地位和收入不也是好事吗？

反方：刚才说过了，学校和企业一样需要恰当的人才结构，比如说特级几个、高级1/4、中级1/2、初级1/4是否比较合理？

再说，如果全体教师都只求奉献、羞于消费，好像会有两方面的问题：一是国民经济拉不动；二是教师人生并不幸福——毕竟各种愉快消费是人生幸福不可缺少的一部分。

正方：但课改不是需要更优秀的教师吗？

反方：你看看事实：课改态势最好的是幼儿园、其次是小学、再其次是初中，高中最差；但教师水平的分布恰恰相反，幼儿园最低、高中最高。这说明什么？

水平越高越难接受别人的理念和做法。纵观历史，总是年轻人推翻老人、小人物推翻大权威、甚至外行领导内行。优秀者的厚重积淀完全可能成为包袱，而不自觉代表着潮流的毛头小伙子却可能创造新时代。

最后，真正推动课改的很可能并不是教师自身，而是工人、农民、小商小贩、企业老板或者说手握选票的选民——教育改革最大、最终的动力不是自己而是社会，耐心等着吧。

……

从辩证法的角度来说，光有正方、反方不够，需要的是“正→反→合”。

但如何“合”，我没想出来——讲座要开始了，没时间想；回家接着想了几个小时，没想出来。

您怎么想？

25、数学各基本思想方法是综合运用的

（代《小学数学思想方法教育专题》结语）

前此24篇例话分别探讨了量化、逻辑化、化归化、结构化四种数学基本思想方法，作为总结性的最后一篇，我们想强调指出的是：这四种思想方法不是分割独立、各行其是而是紧密相连、相辅相成的，在一个具体数学问题的解决过程中，它们都要用到，虽然所占比例不同。

之所以如此，因为数学解决问题的意图与基本程序一般是：以事物集合各要素的关系结构为研究对象（结构化）-→对研究结果不满足于定性描述而追求精确量化（量化）-→猜想和论证这一结果的过程要分别遵守发现逻辑与证明逻辑（逻辑化）-→将多种研究结果连接成知识体系时要尽可能简约（化归化）。

谨以小学数学四部分内容各自最浅的第一单元为例，看看是否如此。

【例54】  第一个数与代数单元：一年级上册《数一数》。

该单元是启动从实物集合向自然数的抽象：把分别有1-10个元素的玩具、动物、植物、人等集合的数量结构特征用符号化的抽象点集来表征。

第一，研究对象是10个不同事物集合的结构特征——略去它们“理化生、色形体”等特征，只研究它们组成元素数量不同所造成的“结构大小”差异。

第二，量化表征它们的结构大小差异。教材不满足于让学生运用啰嗦、模糊的“谁比谁大、谁比谁小”之类说法（即使最简洁的这种说法也是“从小到大排列是滑梯集合、秋千集合、木马集合……人集合”，不但啰嗦而且大小关系模糊），而引导学生用点子的多少来表征——紧接的下一步就将把点子转化为数字——何等简洁、清晰！

第三，上述量化过程的实施必须逻辑化。比较某集合各要素属性异同、比较各集合属性异同，归纳比较所得的相同数量属性，从实物中抽象出该数量属性并用点子数表征，以前述活动的结论为依据推论出10个集合的结构大小关系——既有发现逻辑又有证明逻辑的运用。

第四，这一单元还隐含了化归：“1个”点子是本元，2个、3个直至10个的表征不过重复使用这“1个”而已，其深意为“自然数的单位是1”；为何不多不少正好到10个点子为止——因为将引出“十进位值制”，而位值制将使不论多大自然数的记法都归为简洁的0-9这10个符号。

【例55】  第一个图形与几何单元：一年级上册《认识物体》。

该单元的主要任务是认识长方体、正方体、圆柱、球等几何体形状结构的差异。

第一，突出结构化。所谓认识物体就是认识物体的形状结构差异——组成要素不同、要素之间关系不同：长方体、正方体都只包含点、线段、平面等要素，由于点多、线多导致不光滑、难滚动；圆柱包含曲面要素，比较光滑便于滚动，但还是有“线”（曲线）要素，不如球那么光滑、好滚；球只包含曲面要素，最光滑、能乱滚；即使长方体与正方体，组成各面之间的大小关系也不同。总之：结构不同导致它们功能不同。

第二，几何体概念的得出是逻辑化过程。魔方→正方体、足球→球、万花筒→圆柱、各形积木→四种几何体，须经历比较它们的各种属性，舍弃色彩、质材、重量等物理属性，抽象出并只保留它们共同的 “形”属性（形状结构特征），最后归纳同形物体的形状共性而得出四种几何体概念。

第三，图形分解组合中的化归化。该单元最后两个活动“搭一搭”、“数一数”，实际上是图形的分解组合——我们多次强调过化归化思想所导出这一“化繁为简”策略的重要性。

第四，埋伏了量化思想。该单元“想想做做”第2、3题，分别用自然数表示各组几何体的数量、表示一组几何体的排列顺序，与自然数的基数意义、序数意义分别连接，这是在引导学生将“形”与“数”联系起来思考——这就埋伏了将来的几何问题量化研究。

【例56】  第一个统计单元：一年级上册《统计》。

该单元的任务是对大象家来的客人、不同颜色的花分类统计并制作最简单的统计表。

第一，“统计”的研究对象是事物集合的数量结构（数据分布结构）。大象家的来客集合由小狗、小猴、小猪三种要素组成，分别是4个、5个、3个，分布结构不匀但起伏不大；鲜花集合由红、粉、黄、蓝四色组成，分别是2朵、5朵、3朵、4朵，分布结构不匀且起伏较大。

第二，用数字语言表述这种结构特征即量化。别人问大象：“昨天你家来客情况如何？”大象回答：“不错，3类小动物基本来齐了，分别是3个、4个、5个。”多清晰——这才是统计的价值。

第三，统计离不开逻辑化。大象要比较来客中小动物种类的异同，对同类小动物又抽象出数量属性来分类计量，最后依据自己朋友的种类、总量推论出本次请客的效果——没有此等逻辑思维能力大象是玩不成统计的。

第四，前此某篇例话我们提到过：小学统计的内容很浅，化归化思想方法还来不及体现——就不勉强了。

【例57】  第一个概率单元：二年级上册《统计与可能性》。

该单元概率部分的任务是了解现象发生“一定”、“可能”、“不可能”的差别。

第一，概率研究的对象是事物运动变化各种状态的分布结构。摸两类颜色的球是一种活动，所呈现的结果状态有“摸出红球”、“摸出黄球”2种，只要摸的次数很多，这两种状态的分布结构会非常均匀，即概率均为0.5。抛硬币、轮盘赌、明天老师会表扬还是批评还是不理我之类，和摸球一样结果都会出现多种状态，其中每一种状态称为“可能性事件”或随机事件。太阳每天都会升起、“万寿无疆”谁都享受不到，它们只会出现一种状态，称其为“必然性事件”（包括“一定”与“不可能”两种）。

第二，用数值来精确表征上述状态分布结构即“量化”。如所摸两种球等量将得均匀概率分布﹛0.5，0.5﹜，如所摸两种球是2个和3个将得不均匀概率分布﹛0.4,0.6﹜。1657年创生的概率论是数学极伟大贡献之一，把从来只能定性描述的“可能性大小”精确量化为概率值，这有两大功效：使自己成为统计学、信息科学等等的理论基础，催生了无比巨大的应用效益；改变了数学过去只研究精确现象的传统，使数学还可以研究自然界和人类社会存在更多的模糊现象，开辟了数学的广阔新领域。

第三，概率研究中的“逻辑化”。舍弃随机现象的理化生属性，抽象出发生频数属性予以研究。比较多次实验结果，归纳发生频率在某数值附近徘徊的共性。猜想概率值，最后予以证明。

第四，概率论中的化归化。和统计一样，小学学得太少太浅，丰富的化归还没来得及出现，但至少可以发现所有的概率值不过是（0，1）区间的一个值，这已经化归得很简洁了。

所以，要做好数学思想方法教育，请注意两点：

第一，深入发掘每项教学内容所包含的量化、逻辑化、化归化、结构化四种基本思想方法的资源，珍惜它们的教育价值；

第二，剖析该教学内容的展开方式，明了四种基本思想方法是怎样相互合作来建构这一教学内容的，使四种数学基本思想方法的教育结成有机整体。

这就是我们撰写这一系列例话的真诚目的——谨此收笔，欢迎批评指教！

24、数形互化——结构化思想的又一硕果

“数形结合”不如称为“数形互化”——它是结构化基本思想方法在“数学建模”之外结出的另一个数学策略硕果，其依据仍然是“同构则同功能原理”：数集有顺序结构（大小）、直线上的点集也有顺序结构（前后）→于是数与点可一一对应→数、数关系可与点、点关系互化→代数问题可与几何问题互化。（中学、大学是“平面上或空间内的点分别与二元或三元数组一一对应”，本文存而不论）

数形互化策略为何是硕果？因为离了它创造不出函数图像、解析几何、微积分，也就创造不出整个近现代数学——M·克莱因在《古今数学思想》第二卷第49页说：“紧接着函数概念的采用，产生了微积分，它是继欧几里德几何之后，全部数学中的一个最大的创造。”

正因其伟大，即使在小学数学里也丰富地蕴含了它——试举两双例子加以介绍。

【例50】  化数为点，使数的多少、大小关系直观化。

数（自然数、分数、小数）之间既有多少关系又有大小关系，化数为点，能将这两个关系直观呈现、帮助理解。

小学数学第一单元就开始化自然数为点——从用实物集合、图形集合最后抽象到用点集分别表示1、2、3、4、5。化分数为点开始于三年级下册第70页7、8两题：“在长为1的线段上标出1/10和7/10”、“看着直尺说1厘米是1分米的十分之几，3厘米和7厘米呢”。化小数为点——三年级下册一开始学小数就在《想想做做》里用上数轴了！

别忽视数轴创造的伟大意义：它使实数与直线上的点建立了一一对应，成了创造解析几何与微积分的基础。所以教材早从一年级上册第20页开始，就频繁用到数轴——有方向、有原点、有长度单位的直线。

【例51】  化数量结构为图形结构，使抽象、模糊的语词思维化为具象、清晰的形象思维。

1、前此某例话曾分析过五年级上册第67页第9题（五人赛棋、已赛若干盘，求某一人赛过几盘、和谁赛的），教材的提示“连线表示已赛的盘数”，就是让学生用5个点代表5个人、用每两点的连线代表已赛各盘棋，把原本暧昧不明的数量结构“谁和谁赛过哪几盘”化为清晰可见的图形结构，从而使抽象、模糊的语词思维化为具象、清晰的形象推理。

2、解应用题特别是行程、工程等类应用题经常要画“线段图”或其他直观图，其价值正在于化模糊的数量结构为清晰的图形结构、化较难的语词思维为较容易的形象思维。

3、“解决问题策略”中的列表法，其实质是把该问题隐晦的数量结构“空间化”为图形结构，从而彰显其规律。

4、统计中大量运用的统计表、条形或扇形统计图、尤其是类似函数图象的折线统计图，都是化数量结构为图形结构，以直观、清晰揭示某组数据的分布状态和变化趋势。

【例52】  化点为数，使方位表达由麻烦、近似的语词化为简练、精确的坐标，使麻烦、近似的实际测量化为机器都可以做的精确计算。

解析几何的威力是：通过化点为数，使麻烦、近似的方位语词描述化为简炼、精确的坐标，使麻烦、近似的长度、角度、面积、体积、交点位置、切点位置等实际测量变成用机器都能做的精确计算，还把模糊、直观的增长趋势、凹凸程度等等化为精确量化的斜率值、曲率值等等。

小学数学体现了这种“化点为数”的威力吗？初步体现了：

1、二年级上册第40页《位置与方向》首次提出“方位坐标化”：住房第几层第几号、书架第几层第几本、座位第几排第几座，还画出了减缩的平面直角坐标系。三年级下册第111页出现了较标准的第一象限平面直角坐标系。五年级上册第4页又提出用负数来表示点在相反方向上的位置，并在例4示意图中蕴含了完整的平面直角坐标系。五年级下册第15页《确定位置》单元更正式提出和运用了用“数对”（二元数组）表示点在平面上位置的方法。六年级下册第54页《确定位置》甚至提出了通向高中“向量与复平面”的另一种坐标表示法——由倾角与长度组成数对。

2、怎样看待从一年级上册开始出现的直尺、温度计、钟表这些测量工具？直尺和温度计实质上是把点（线段端点、水银柱端点）的各种可能位置化为数；钟表则实质上是把指针端点在圆周上的各种可能位置化为数。故它们也是在“化点为数”。

【例53】  化图形结构为数量结构，使只能凭肉眼模糊推导的几何测量化为用数字的严密逻辑运算。

M·克莱因告诉我们：“笛卡尔……看到代数的巨大潜力。……他把代数看成是……进行推理的有力方法。……把代数看作是逻辑在处理量方面的一种延伸，……甚至逻辑上的原理和方法也可能用符号来表达，而整个体系则可用之于使一切推理过程机械化。”（《古今数学思想》第一卷第328页）

化“形结构”为“数结构”来更好地解决问题，小学就开始了。

五年级上册第63页《解决问题的策略》例1，“用18根一米长的栅栏能围成多少种不同的长方形”，用的什么策略？“列举法”之说只看到了表面——为何要列举，其深层理由是什么？这理由就是“与其模糊地思考图形结构变换不如精准地思考数量结构变换”，于是把原本须动手的拼或画变为依序列出半周长9的全部可能组合（1-8、2-7、3-6、4-5）。

提个建议：

对本例教材最后问：“比较每个长方形的长、宽和面积，你有什么发现？”如果把本例条件改为“20根1米长的栅栏”是否更好：学生将发现“围成正方形时面积最大”——且这个极有价值的发现用图形思考是较难得出的。

23、小学数学研究的结构也有运动变化

粗一看，小学数学似乎只研究静止的结构：1+1=2、3-2=1、2×3=6、10÷2=5之类，由于数值确定，分别是静止不变的“和、差、积、商数量关系结构”；每个具体的长方形、圆、长方体、圆柱等几何图形都是静止不变的形状结构；统计与概率中的平均数、一件事发生可能性的大小也不过是静止不变的常数。

其实不然，现代小学数学不论在“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”哪个部分，不但研究结构的静止状态、还研究结构的运动变化。

任何事物的结构本来就有静止不变、运动变化两种状态。上世纪初结构主义理论刚兴盛时，只强调结构静止不变的一面——即强调“共时性结构”（不随时间改变的共同结构，如认为中国传统社会长期属于“专制政治←→小农经济←→儒家文化”超稳态结构，所以几千年守旧、停滞）；但后来发现这样不行，才开始重视研究“历时性结构”——事物结构运动变化的规律。

小学数学研究了哪些结构的运动变化呢？

【例47】  数与代数：数量关系结构的运动变化。

1、和、差、积、商各数量关系结构的运动变化。

如后四条计算规律就是数量关系结构的运动变化规律：（1）和结构：任一加数增减，和等量增减；（2）差结构：被减数增减、差等量增减，减数增减、差反向等量增减；（3）积结构：任一因数倍扩或倍缩，积同倍扩缩；（4）商结构：被除数倍扩或倍缩、商同倍扩缩，除数倍扩或倍缩、商反向同倍扩缩。

此前的例话中称上述规律为结构要素之间的“协变关系”，叶澜“新基础教育”则称之为“共变关系”——要变共同变，这个说法更准确。

2、分数基本性质的逆向运用。

通分时，要使分数值不变，则分母扩缩多少倍、分子也需扩缩多少倍。分数是两个数结成的结构，分子或分母的变化就是这个结构的运动，而通分法则是要求分数结构运动时分子、分母“共变”。

3、用字母代替数。

当a取无数个不同值时，a+3、a-3、3a、1/a等都在运动变化。

【例48】  图形与几何：图形形状结构的运动变化。

1、两直线位置关系结构的运动变化。

两直线平行，如其中一条开始旋转，其位置关系结构立即开始变化：平行→相交、交角从略小于180°开始连续减小→垂直→相交、交角继续减小直至略大于0°→平行。

2、各基本几何图形形状结构的运动变化。

长方形一边向对边平移，将变出正方形，接着变回长方形；如该边绕某顶点向对边旋转，将逐渐变出梯形、三角形。平行四边形某锐角内角逐渐增大（想象着挤压它），将变出长方形，接着变回平行四边形；如某边绕某顶点旋转，将变出梯形。菱形可压缩成正方形，正方形可拉伸成菱形。

让某面平移，正方体可变出长方体、长方体可变出正方体。缩小圆柱某底面面积至0，可变出圆锥。正方体、长方体和圆柱的侧面展开后变成长方形，圆锥的侧面展开后变成扇形。

六年级下册第20页第3题，让长方形、直角三角形、半圆形的三面小旗分别旋转生成圆柱、圆锥和球。

3、圆面积、圆柱体积计算公式证明中的“极限运动”。

小学“证明”圆面积计算公式时，是把圆分割成越来越多等面积的近似三角形、再拼成近似的长方形；“证明”圆柱体积计算公式时则是把它分割成越来越多等体积的近似直三棱柱、再拼成近似的长方体。这实际上渗透了高等数学中的“极限运动”思想方法。

【例49】  统计、概率本身就是研究结构运动变化的。

1、统计。

如气温统计。每年抽测的气温各为一组，其内各天、各月、各季、各年的气温形成一种分布结构，不同年份的气温分布结构虽大致相同但有变化。气温统计研究的目的至少有两个：一是大致预测某天（或某月、某季、某年）的气温分布结构即最高温度、最低温度、平均温度各是多少度；二是发现或推测某段长时期内气温分布结构逐年变化的趋势。

可见统计的研究对象就是某事物结构的运动变化，研究的目的则是推测该结构运动变化的规律。

2、概率。

概率的研究对象是随机事件，而随机事件的特性就是其状态将在不断的运动变化中发生多种可能。随机事件每发生一组运动变化，各种可能状态发生次数所结成的数量关系结构会有所不同，但如运动变化组数非常多，该“数量关系结构”会越来越相同——此时才得出某种可能状态发生的“概率”，它也是一种趋势、一种规律。

可见概率和统计一样，研究对象是某种结构的运动变化，研究目的则是找出该结构运动变化的规律。

朋友们还可在小学数学中找到另外一些研究结构运动、变化的内容，限于篇幅，本文不再赘述。

研究运动、变化的数学内容有何教育价值呢？大得很！

第一，数学研究结构动态的价值比只研究结构静态大得多，所以数学史上函数、解析几何、微积分等理论的创立，因其为研究结构动态提供了精确的工具而震动世界。

让学生从小就感受、体验数学研究结构动态的威力，对深化他们对数学的认识、激发他们对数学的热爱价值极大。

第二，对图形形状结构动态的想象就是“空间想象”，这正是数学要培养的重要能力之一。

第三，为小学生今后学函数、解析几何、微积分做好铺垫。

第四，对数据结构、图形结构的动态分析（包括“极限运动”分析）是很有用的一种“解题术”——即使只为应试教育，也要重视对它的教学吧？

22、叶澜新基础教育的教学法“学结构、用结构”

既然数学知识、学生的认知活动都是结构化的且二者同构，那数学教学就应当实行“结构化教学”——“教师结构化地教”、学生“结构化地学”。

叶澜主持的“新基础教育”研究对“结构化教学”非常重视，对语、数、外三科教学方法的总主张都是“长程两段整体设计”，第一段“学结构”、第二段“用结构”。

下面以他们对“行程问题”单元教学的整体设计为例，看看何为结构化教学（选自叶澜主编、吴亚萍著《“新基础教育”数学教学改革指导纲要》，广西师大出版社2009年4月版，但对原文进行了重组）。

【例46】  叶澜“新基础教育”对小学数学“行程问题”单元的教学设计。

1、行程问题的知识结构分析

（1）行程问题在整个数学知识结构中的位置：

看如后知识链：数学→小学数学→数与代数、空间与图形、统计与概率三个分支→数与代数分支内的数、数量关系、规律探索三块→数量关系块内的简单数量关系（与加减乘除分别对应的部总关系、相差关系、份总关系、倍数关系四种）、复合数量关系、特殊数量关系三组→行程问题单元、一种特殊的份总关系。

（2）行程问题单元内部的知识结构：

行程问题研究运动，运动状态包含出发地点（同地或异地）、运动方向（相向、背向或同向）、运动开始时间（同时或异时）、运动结果（相遇、相离、相遇后又相离）等四个要素，它们可组合出15种运动状态，每种状态各有其数量关系（该书列出了各状态数量关系的字母表达式）。

但这杂多的15种状态有共同的基本结构（这是行程问题的深层结构）——总路程与各分路程之间的部总关系，有共同的基本求解方法“算术或方程法”；且相向又相遇问题是最典型的行程问题，可从它出发逐步导出其他相向问题、各种背向问题、各种同向问题。

2、行程问题单元“长程两段”教学整体设计

（1）长程两段之一：全单元的长程两段。

以各种相向问题作为全单元教学的“学结构”阶段，而以各种同向、背向问题作为“用结构”阶段。第一段既是重点又是难点，要让学生感受、理解、掌握本单元的整体知识结构，体验、理解、掌握解决行程问题的关键“建立总路程与各分路程的部总关系”，要舍得花时间；这一段教好了，第二段就可以教得又快又好。

（2）长程两段之二： “学结构”阶段本身的长程两段。

“学结构”共4课时：前两课时细致教学相向且同时出发的相遇、相离、相遇又相离问题；后两课时先回顾、反思、提升，再学习异时出发先走一段路程或先走一段时间等变式相向问题。

（3）长程两段之三：“学结构”第一课时的“长程两段”。

全单元第一节课分为两段：以相向、同时出发、相遇问题的数量关系及其变式为“学结构”阶段，以相向、同时出发而相离或相遇又相离问题的数量关系及其变式为“用结构”阶段。

3、第一课时教学设计

引入：了解行程问题四大要素“出发地点、运动方向、运动时间、运动结果”。通过两车相向而行的运动过程，感知其相遇、相离和相遇又相离三种情况。

第一环节：相遇问题的数量关系认识（教结构）。

（1）以已知v₁、v₂、t求s的问题为例，了解和掌握行程问题线段图的画法，对相遇点的位置建立敏感。

（2）研究和发现其中的数量关系：s₁+s₂=s，即（v₁+v₂）t=s

第二环节：相遇问题的变式认识（教结构）。

学生各自主动进行变式尝试，根据具体问题情境确定已知条件与求解问题，通过交流形成整体认识，即整体感知各种变式问题的基本组成——在v₁、v₂、t、s四个条件中，已知任意三个可求第四个，且只有已知v₁、v₂、t求s时可用算术解法，其他须用方程解法。

第三环节：相离、相遇又相离的数量关系认识及其变式（用结构）。

学生各自主动研究相离情况、相遇又相离情况的数量关系，通过交流形成两种情况的整体认识（课内还可对相离的情况进行变式研究）。

相离情况的各种变式组成：在v₁、v₂、t、s₀、s五个条件中已知任意四个可求第五个，且只有已知v₁、v₂、t、s₀求s时可用算术解法，其他须用方程解法。

相遇又相离情况的各种变式组成（以研究和发现数量关系为主，各种变式的具体解法可作为家庭作业）：其组成要素及解题思路与相离情况相同，不同之处在于前者是加上s₀后者是减去s₀。

何为结构化教学——从上述案例似可悟出如下几点：

1、教师要学更多数学知识（全部小学数学、中学数学直至高等数学、数学史等），才能了解和把握整个小学数学的知识结构、深刻认识本单元知识的深层结构“总路程与各分路程的部总关系”。

2、这深层结构才是本单元内容的核心，有着最大的教育价值，“教结构”的关键是让学生了解它、理解它、会用它。

3、深层结构也好、表层结构也好（如行程问题的15种数量关系），都不能由教师“教”给学生，而应由学生自己去“感知、了解、研究、交流”（见案例中的黑体字），教师的职责是提供教学资源、引导、支持与帮助——这就是“建构主义教学观”。

4、教学过程是“整→分→整”，一开始就指导学生初步感知所有行程问题的概况，然后一节节课逐步解决问题，最后回顾、反思、总结。而不是“分→整”：每节课只孤立地教一二个知识点，直到最后才整理成整体。这样学生才能“知其然且知其所以然”，展开主动的、探究式的学习。