学者说“我们没有引进教育学”？

据最近网载，已满104岁的著名经济学家、语言文字学家周有光教授批判说：“我们……没有引进教育学，教育搞得很糟糕。许多社会规律在我们这里都不起作用。”

乍一看——令人惊讶，我们引进的教育学还少吗？

1949年直至文革前，我们曾不遗余力地引进了前苏联教育学，如凯洛夫、列宁夫人克鲁普斯卡娅、马卡连科，文革中和文革后又引进了前苏联的赞可夫、苏霍姆林斯基、巴班斯基等等。改革开放以来更是大开国门，西方发达国家的诸多教育理论如进步主义、结构主义、建构主义、多元智能学说、后现代思潮等等纷纷引进，即使南美洲的批判教育理论也在积极引进。我到过许多大中城市的书店，那里面外国教育理论书籍成百上千、只恨自己没钱买！

再一想——看来光是书籍的翻译、发行即观点或口号的传播不能算是周老先生说的“引进”。

您看周老先生的第三句话：“许多社会规律在我们这里都不起作用”！

的确，规律起作用是需要条件的，马克思早就批判过——普鲁东所宣扬的“铁的法则”其实根本不铁：生物学规律对石头不起作用、市场经济规律对计划经济不起作用、民主政治规律对专制政体不起作用，于是外国教育学所描述的教育规律对中国教育体制也不会起作用。

中国教育当前的一系列沉疴都根源于我国的各种僵化体制：大学培养不出创造型人才和教授们的学术腐败，根源于大学的官本位体制；中高等职业教育的艰难窘境，根源于仍严重存在的经济垄断和中小型民办企业的举步维艰；基础教育深陷应试教育泥潭不能自拔，根源于校长们仍然是“官”，而这些小官和领导他们的大官结成了追求升学率短视“政绩”的一张弥天大网……

在沉重的旧体制桎梏下，搞素质教育和课程改革、搞创造型人才培养、创世界一流大学，统统无异于带着镣铐跳舞，除开把无数仁人志士折磨得遍体鳞伤之外，还能跳出什么好结果？

特别就基础教育而言，1985年就发了文件要改革教育体制、向学校放权，教育部还专门成立了课题组搞了十几年研究并发布了“推行校本管理、建立现代学校制度”的报告，——可事实上如何，学校的权力越来越小、校长和教师身上的镣铐越来越重、弊端重重的旧体制愈演愈烈！

可见周老先生说得太对了：教育体制没有什么大的改造，成了实践现代教育理念的巨大障碍，发达国家的教育学宣传得再多也无济于事，等于它们的教育学没有引进。

而没有引进的结果，则是周老先生说的——“教育搞得很糟糕”！

16、要重视数学语言运用能力的培养

前面几个例话讲了很多思维能力培养的问题，但怎样培养思维能力呢？

介绍这方面经验的文章浩如烟海，可借鉴的好办法繁花似锦：让学生积累丰富、大量的感知经验，提供思维开展的充足材料；让学生自主探究，不把教学变成灌输死知识；让学生在经常、多样的实践操作活动中学习；……

本例话只想提醒被前述研究与实践未被强调的一点：思维能力的提高离不开数学语言运用能力的培养。

虽然“语言是思维的外壳”说法片面——动作思维、形象思维和直觉思维并不依赖语言，但“语言是抽象逻辑思维的外壳”只怕还是正确的：用不好数学语言（不善于用数学语言思考和表达），抽象逻辑思维能力从而数学思维能力是高不起来的。

上海教育出版社2002年5月版、刘爱伦主编《思维心理学》第372页指出：“皮亚杰……强调说，人的智慧愈发展、思维愈进入高级阶段，语言在思维中所起的作用也就愈大。……在形式运算阶段，……语言是形式运算的必要条件（按：皮亚杰认为儿童智慧的发展经历由低级到高级的感知运动、前运算、具体运算、形式运算四个阶段，在形式运算阶段抽象逻辑思维能力才基本成熟）。”上海音乐出版社2005年10月版、林华著《音乐审美心理学教程》第87页指出：“人类的智慧突然从猩猩的水平飞跃，并不在于脑容量，虽然这也很重要，但关键是人类有了语言。语言是一种符号，能够运用符号，也就有了抽象思维的工具和能力，这是人和动物的分水岭。”

总之，抽象逻辑思维只有运用语言才能实施，反之，对语言的运用将促进抽象逻辑思维的发展。

【例36】  魏书生引导学生关注数学语言。

魏书生上语文课，数学老师偶过其课堂，听见魏书生说“请把数学课本拿出来”便好奇地停步，又听见魏书生说“请认真读读刚学过的那节数学内容”更是满心欢喜！

读完数学课本后，魏书生让学生接着读语文新课文，然后组织讨论：“对比数学与语文所用语言的不同。”

多好的语文教法！对比抽象、精确、简练、符号化的数学语言，学生深刻感受、了解到文学语言的具体、形象、多义、传情特征；还进一步认识到，数学思考主要靠抽象逻辑思维，文学思考主要靠形象直觉思维。

多好的学科综合！魏书生这堂课既教了语文、又教了数学，并使二者相互促进。

作为数学教师，我们该惭愧！我们还不如语文教师魏书生那样关注数学语言。

【例37】  张奠宙强调数学课里“说”的重要性。

张奠宙先生在《人民教育》2010年第2期第37页赞扬了中国教师对40人以上班级的数学教学程序：“设计提问→学生口述→教师引导→全班讨论→黑板书写→严谨表达→互相纠正”（并指出小班还是“分组探究→代表汇报→彼此讨论→教师总结”较好）。

他说：“学生站起来回答……或者用口头的数学语言叙述证明过程，或者使用心算得出计算结果。如果一位学生回答不完整，由其他学生补充和更正。最后，教师将学生语言的表达，经过提炼形成严谨的书面数学语言，写在黑板上。这样，学生和学生、学生和教师之间通过‘大声说’的方式，暴露数学思维过程，进行心算演练，而且在讨论中互相补充纠正，教师点拨总结，最后用严谨的书面语言写在黑板上。这是一种和谐的数学语言对接。笔者曾经接待过一位美国同行，他对此非常赞赏。”

考虑得更全面一点，该怎样培养学生的数学语言运用能力呢？

建议一：数学教师首先要重视自己的语言。我们的课堂语言达到了数学语言的严谨要求吗？课外与学生交往时，我们注意了使自己的语言具备数学的精确、概括、逻辑严谨风格吗？也许有人反对课外的这项要求，但请注意：“身教重于言教”，教师对学生一生最深刻、最久远的影响并不是你教的知识，而是你的言行风范。

建议二：应具体研究1-6年级数学内容中数学语言的分布。对各种数学对象的描述怎样逐渐从生活化的词汇变成抽象的数学概念？对各种数学关系的描述怎样从口语化的句式变成精确的数学命题？对各种数学思考过程的描述怎样从散文式的文体变成严谨的数学推理？数学符号怎样逐渐取代语词？只有如此，才能有目标、有计划、循序渐进地去培养学生的数学语言运用能力。

建议三：如张奠宙先生提倡的，尽可能让学生多说数学语言。据我的经验，有效指导“差生”也应如此：不要直接告诉他题目怎么做，而要鼓励和引导他说，说题目里有哪些信息、说自己解题的点滴想法——说着说着他就会做了。

建议四：鼓励学生动笔写。不止写作业，还写数学日记、数学小论文、用数学解决问题的设计方案等等。写对思维的要求比说高得多，写100字比说1000字的思维锻炼价值还大。近来我市不少学校尝试了这一做法，下决心坚持下去，只须注意求精不求多。

建议五：鼓励学生多读。阅读数学课外读物好处很多、很大，激发数学兴趣、丰富数学知识、熏陶数学精神，还能提高数学语言的理解和运用能力。这就需要数学教师帮图书馆和学生推荐这类读物——虽然市场上这类读物不少但学校和家庭却不多。

哇，这不就是语文、外语教学的“听说读写”吗？

是啊，“数学是一种语言”，培养数学语言运用能力和语文、外语一样要多多“听说读写”——只不过别忘了自己的目的：通过数学语言运用能力的提高促进数学思维能力的提高。
……

15、“数与代数”单元的全程数学思考

现在让我们发掘一下，教材编者对小学第一和最后一个“数与代数”单元的全程数学思考是如何设置的。

【例34】  一年级上册“认识自然数0-5”单元。

该册第2-25页的内容不限于“认识自然数”但以它为主，建议把它们整合成一个单元“认识自然数0-5”，因为这样才能使学生较完整地认识自然数0-5——其书写符号、基数意义、序数意义和大小关系。

本单元设置的全程数学思考循着三条基本线索有序展开：

1、动作思维→形象思维→运用符号的抽象思维。

认识1-5的基数意义（集合元素多少）：第2页“数一数”操作实物或图象，将集合元素个数用感性的声音“yī、èr、sān、sì、wǔ”与之一一对应；第12页“想想做做”1、2题，第16页例1、2，第17页“想想做做”第1、2题等，则将集合元素个数用理性的抽象符号0、1、2、3、4、5与之一一对应，

认识1-5的序数意义（顺序先后）：第6页“想想做做”第5题“找几个同学从高到矮排排队”即实践操作；第9-10页则在安排用手握拳或摸耳朵的实践操作之外还安排了多个对图像的观察操作；第12页“想想做做”第4题，第14页“想想做做”第1、3、5题，第16页例3、第17页“想想做做”3、4题等，则是对数字符号的操作。

认识数量大小关系（长短、轻重、多少或顺序先后）：第2-6页、第9-10页比较实物；从第11页开始比较数字符号所代表的数量意义；第18-19页还引入了=、＞、＜等符号，从而能把表述大小关系的语句完全符号化。

2、“实物→图像→符号”的数字形成生成过程。

数字的生成经历了漫长的“实物→图像→符号”两轮抽象过程：先是用手指、石子、绳结等实物集合与所计算实物集合相对应即“屈指计数”或“结绳计数”，然后创造某些图像集合（类似于象形文字）与所计算实物集合相对应，最后才创造出与实物集合相对应的符号。

本单元极精炼地复演了这一过程：第2页以观察实物集合为基础，在第一排画出不同玩具或动物的图像集合，再在第二排画出与它们分别对应的圆点集合——不同的圆点集合就是用来记数的一些象形文字，在此后大量的实物或图像操作基础上，最终在第11-19页得出0-5的数字符号及=、＞、＜等大小关系符号。

3、逐步展开比较、划分、归纳、概括等丰富的思维活动。

抽象须比较各个对象、从它们的多个共同属性（如形状、色彩、材质、数量等）中舍弃其他、只抽出一个（如数量属性）来加以研究。在第2页“数一数”活动中就可以看到这种在比较基础上进行的抽象活动。随后的“比一比”更是直接的比较活动。再后的“分一分”即分类则是逻辑学所说的划分活动。更后的“认位置”其实是空间位置关系的比较活动。经过如此大量的数量属性抽象、各集合数量大小比较之后，最后加以归纳、概括，得出表征数量及其大小关系的各种符号。

【例35】  六年级下册“正比例与反比例”单元。

本单元所展现的数学思考全程是：归纳一类事实、运用合情推理发现并提出正比例、反比例概念→运用逻辑思维方法给这二个概念下定义→用这个概念去概括其他同类事实→把这个概念符号化表征→应用这个概念解决实际问题的演绎推理方法；同时安排对“数形结合”思维方式的体验。

1、归纳发现。数学的基本方法特征之一，是研究变化中的不变性——不变性就是规律性，就有研究和应用意义：本单元例1匀速运动的汽车，行驶时间变、行走的路程也变，但有一个量不变——每段时间与这段时间所走路程之比不变；教材用统计表列出连续6段时间中汽车所走路程，引导学生观察、计算、归纳，从而发现6个比值的不变性。例3对单价与购买数量之积不变性的研究思路同样如此。

2、逻辑定义。“当路程和对应时间的比的比值总是一定时，我们就说行驶的路程和时间成正比例”，“当单价和对应数量的积总是一定时，我们就说笔记本的单价和购买的数量成反比例”，这就是给正比例、反比例所下的逻辑定义。

值得提倡的是：我市荷塘区戴家岭小学正在研究的“概念教学模式”，在这一环节不是向学生灌输现成定义，而是先让学生自己给所发现的数量关系“命名”，然后交流、评价，最后与教材的命名对比。

3、抽象、概括。前述定义仅局限于一类事实，不利于实现数学概念的普遍性，于是教材紧接着在“试一试”和“练一练”中将“买数-总价”、“工作时间-生产数量”另两种数量关系概括进“正比例关系”概念，得出最抽象的定义“如两量之比为定值，则称该两量成正比例关系”。抽象的反比例概念定义“如两量之积为定值，则称该两量成反比例关系”的得出同样如此。

上述定义使“两量”摆脱了具体数量桎梏、可代表任何数量，从而最适于应用。

4、符号化表征。数学追求符号化表征，以实现“思维经济性”即尽可能节约脑力，所以教材最后给出正比例、反比例关系的符号表达式“y/x=k（一定）”、“x×y=k（一定）”。

5、演绎应用。应用已有知识解决实际问题的思维过程是演绎推理。以第64页“练一练”第（3）问“估计小玲5分钟打了多少个字”的解决为例，其计算推理过程是：大前提“小玲打字的个数和所用的时间成正比例关系”；小前提“小玲打字的时间是5分钟”、“该正比例关系的k值是50”；结论“所以小玲可打的字数是50×5=250”。

6、数形结合思维方式。为何设置例2制作正比例关系图像、为何后面练习中多次出现此类图像？意义在于：图像法是数与形的结合、是逻辑思维与形象思维的结合，对将来的数学研究与运用价值极大。

14、让学生经历“全程”数学思考

逻辑化基本思想方法之所以基本，是因为它贯穿数学思考全程：解某数学题、编制或学习某数学单元、创建或学习某数学分支、创建或学习整个数学体系，都必须遵循思维的规律与规则。

今天的数学教学开始了重视数学思考，但很不足，缺陷之一是“偶发性、碎片性”：对数学思考的研究与实践多停留在解几道题或上一堂课的低水平，一个单元乃致更长周期教学中怎样组织数学思考还极少有人探讨。

如果探讨一个学期甚至六年的全程数学思考暂时太难，那探讨一个单元的全程数学思考则既可能又必需。

让我们选教材的二个几何单元为例，看编者为它们设置了怎样的全程数学思考。

【例32】  小学首个几何单元：一年级上册《认识物体》。

（一）全程思维结构解析：

从实物（积木）中抽象出几何体（长方形、正方形、圆柱、球）→研究其形状特征得到几何知识→组合几何体来模拟实物（几何体、数、式都是实物的数学模型）从而运用所得几何知识解决实际问题。这一流程是几何学一般研究流程的启蒙性模拟，体现着几何学的性质、意义与基本方法。

根据低年级学生心理特征，上述研究过程中的数学思考以直觉、动作、形象的思维为主，但渗透了抽象、分类、计数等抽象逻辑思维要素。

（二）思维结构的有序展开：

1、例文要求从实物中抽象出四种几何体：观察、分析一堆积木，扬弃它们色彩、体积、重量等属性，只抽象出形状属性作标准将其分成四类，要求不归错类、不遗漏对象。学生凭借幼教期间已有经验，可形象、直觉地完成这一任务（三棱柱、缺半个圆柱的长方体暂不研究、予以排除），对分类标准心知即可、不必表述。

2、想想做做既继续分类活动、又增设知识综合应用要求：第二题给一堆积木分类填统计表、第三题按序判断几何体类型，分别综合了统计知识、自然数“序数”知识解决问题；第一题为各几何体连线找对应实物，渗透了“几何体是实物模型”思想（“数学建模”重要思想的开端）、解题术中的“对应方法”和“图示方法”。

3、有趣的拼搭含两部分内容：（1）滚一滚、堆一堆、摸一摸是以操作、想象为主要思维方式的推理活动——“哪一个滚得快？”“哪一种最难堆？”“你摸出来的是什么？”“你能摸出一个圆柱吗？”对每个问题的推理过程建议设计为“合情推理猜想→动作思维验证→尝试逻辑思维反思原因”流程。（2）搭一搭、数一数有三层意义：一是发展空间形象思维，二是通过组合积木将几何模型还原为实物以感受几何研究一般方法并接触“分解组合法”，三是通过计数将几何与算术相联系。

【例33】  小学最后一个几何单元：六年级下册《圆柱和圆锥》。

（一）全程思维结构解析：

从实物抽象出几何体严格概念→定性研究其形状特征（图形要素结构）→定量研究其形状特征（侧面积、表面积、体积）→应用前述几何模型研究所得知识解决标准型、非标准型、复合型实物的表面积、体积等问题。这是抽象、量化的较高水平几何研究流程，较完整体现出几何学的性质、意义与方法。

上述研究过程虽仍以直觉、形象、动作思维为基础，但显著提高了抽象逻辑思维、精确计量要求。

（二）思维结构的有序展开：

1、形状特征定性研究（例1、练一练、练习五）：（1）观察圆柱或圆锥形实物，抽象其形状属性而扬弃其他方面属性，归纳、概括得出两几何体及其结构要素概念（圆柱体、圆锥体、底面、侧面、曲面、高、顶点等）。说明对高年级学生要求以形象、直觉思维为基础展开抽象逻辑思维。  （2）练习题中的思维活动有：涉及三视图的三维空间形象思维、制作活动中的动作思维、对旋转小旗的空间想象渗透以后的几何形体旋转生成方法、几何计算中的逻辑思维。

2、形状特征定量研究一（侧面积、表面积，例2、例3、练一练、练习六）：（1）运用化归化基本思想方法，化新知“曲面形的侧面”为旧知“平面形的长方形”、化繁杂图形“圆柱表面”为简单图形组合“一个长方形和两个等圆”。  （2）所得知识综合应用中的情境性思维（美国心理学家斯滕伯格提出“实用——情境性思维”，应用知识解决实际问题时须依情境特点对知识加以变通，如蒙盖表面所需材料应为“至少”或“大约”、制作非标准圆柱所需材料应依实计量）。  （3）依公式计算、复合图形表面积计量、多步应用题解答等活动中的逻辑推理。

3、形状特征定量研究二（圆柱体积，例4、试一试、练一练、练习七）：（1）两次运用类比合情推理猜想圆柱体积计算法：“等底、等高的长方体和正方体体积相等，所以等底等高的圆柱也与它们体积相等”（即著名的祖暅原理），“圆可以转化成长方形计算面积，所以圆柱可以转化成长方体计算体积”。  （2）运用化归化基本思想方法化曲面形的圆柱为平面形的长方体。  （3）运用“穷竭法”（即极限分析法）推出圆柱体积计算公式。  （4）所得知识综合应用中的情境性思维。

4、形状特征定量研究三（圆锥体积，例5、试一试、练一练、练习八）：（1）估计圆锥体积是等底等高圆柱1/3时的形象直觉思维，及验证此猜想的动作思维。  （2）所得知识综合应用中的情境性思维，计算、灵活运用已知公式、解答多步应用题时的逻辑推理。

朋友们会说：几何里的数学思考好说，纯粹的数与计算如何？

好，下个例话就来探讨这个问题。

XYZ聚会有感之二：对一个几何教学困惑的争议

汤老师提出问题：“不少三年级学生做错了一道题：把两个边长为4厘米的正方形拼成一个长方形，求长方形的周长——他们算成32厘米而不是28厘米。为什么会错？”

我想了想说：“他们做成了算术计算题，4厘米×4×2=32厘米；没考虑正方形周长的计算公式在这里应该依据实际问题情境作变通——减掉二条公用边的边长。在应用知识解决实际问题时的思维，属于‘实用-情境性思维’，要善于对规范化、公式化的知识作灵活变通。”

汤老师似乎不满意：“我对他们做了调查：做对了的多半动手画了图，做错了的多半没动手画图。这说明什么？”

我说了较长的一段话：

“画图把文字抽象表述的题目转化成了直观形象的图示，真实问题情境清晰起来，合理的实用-情境性思维便被唤醒了。

与任何思维能力一样，实用-情境性思维能力是在反复多次应用知识解决问题的活动中锻炼和积累的，而解决几何问题往往离不开动手画图尤其是对几何图形的分解组合操作，——所以从一年级开始，就要让学生多进行观察、想象、画图、把图形分解组合之类的操作活动。

几何教学要依据儿童思维发展的规律：幼儿阶段动作思维为主，要让他们多动手操作，在脑海里积累大量的形象资料，促进形象思维发展；小学低年级起形象思维渐渐为主，一要继续重视动手画图，二要让他们多动脑想象，让脑子里积累的各种形象动起来、变起来（比如分解、组合、旋转、平移、伸缩之类），为发展抽象逻辑思维打好基础；到了高年级，逻辑思维渐渐为主，要开始重视让学生运用语词、符号（即概念、原理）来严谨地思考和表达——但既然是几何思考，动手画图是永远不可缺的。”

谭老师快言快语：“我看很简单，没老帅说的那么复杂：画图是数学常用的问题解决策略，不会做的学生多办是没掌握这种策略。但板子还是要打到老师身上：往往以为策略是‘教’出来的，只是把关于策略的知识说给学生听，却不知策略的掌握在乎做，在解决问题的实践中锻炼。那些缺乏锻炼的学生首先是没有运用画图策略的意识，于是没画图、于是做错了。”

汤老师笑了，看来更赞同谭老师的看法。

我很高兴，对一个困惑能有两种解答，总是好事，何况二者之间完全可以不冲突而互补。

散步回家的路上，我还在想这两个解答之间的具体互补关系，变成下面二个思考题：

1、不画图而做错的学生当然是没有运用画图策略的意识，但他们为什么没有这种意识呢？我看原因还是没积累大量动手画图的经验特别是成功的经验，——成功经验带有积极的情感性，当遇到新问题时，这情感会激发他画图尝试的活动方式。

2、“策略”是一种思维形式，它能代替思维内容吗？就算有了画图策略的意识（想到了要画图来帮助解题），但画什么呢——要画的图需要先在头脑里形成，连画竹圣手郑板桥都说“意在笔先”即先要有胸中竹、后才有纸上竹。虽然从思维形式上看，要重视画图策略的意识熏陶与能力锻炼，但从思维内容上看，从小在脑海里积累丰富的动手操作图式、积累丰富的事物与过程形象，才是更根本的：否则你的战争策略再高超，但兵员不足、粮草匮乏，只怕还是要打败仗的。

XYZ聚会有感之一：寒假了，读点书！

赵老师说：“寒假里，很想读点书，大家说该读什么呢？”

于是各有建议，众说纷纭……

我看无外乎想好三个问题：

第一，为什么目的读书？这是决定性的问题：读什么书、怎样去读，都决定于它。

读书目的大致有三：一是“解惑”，急于解决工作中的某个具体困惑；二是“寻根”，打算补补基础理论；三是“修心”，想丰富一下自己的文化修养。都是好目的，究竟选哪个，取决于自己当前的需要。

第二，读什么书？目的不同，该选的书就不同。

如想“解惑”，最好进行“专题研究”，针对你的具体困惑选书：是教学内容困惑就选教材分析、本学科专业（如中等或高等数学、中等或高等中文之类）教材；是教学方法困惑就选学科教育学、学科教育心理学、优秀教师教学经验介绍一类书籍；是学生管理困惑就选儿童心理学、管理学、社会学之类的书籍。多找几类、几本，帮你从多角度思考那个困惑，完成一个专题的研究。

如果是“寻根”，那么教育思想的根主要是教育学、教育史、心理学、心理学史、本学科历史（如数学史、科学史、文学史等等）。寻根不能急功近利，寒假期间读完一本最多二本就不错了。

如果是“修心”，那读什么书都行，甚至武侠、言情皆可，开卷必有益——只要你在读书时不忘记联系教育问题思考（我读的宗教、武侠、历史等类书籍，都帮我理解了教育问题）。

第三，怎么读法？这也取决于你的目的。

“解惑”的读，方法在于“博中取约”：一是博，任何问题的解决都需要用到多种知识，故围绕你的困惑要多读几本书；二是约，读每本书都主要关注与你的困惑相关的内容，让书成为你的奴隶、你不能成为书的奴隶。当然能不能约出成果，还看你愿不愿意花力气做笔记、整理笔记、写出总结性的心得。

“寻根”的读，方法在于“啃骨头”：不读则已、读必读懂，熟读精思、理解批判。想寻的是“根”不是“疏枝蔓叶”，所以要积极开展逻辑思考、按照“叶→枝→根”的顺序细致地去“寻”，最后画出一株“知识树”——这样你就掌握了一门理论的主体结构。

“修心”的读没什么要求，只要乐乐地读、痴痴地读、细细地品，就会有收获。

至于具体书目，一来可读之书太多不便细数，二来我读的书只是自己喜欢、岂知别人口味如何——就略去不作介绍了，请大家原谅！

13、容易题是培养思维能力的主渠道

上一例话说明不能靠偏题难题、奥数题培养思维能力，于是中下难度的容易题才是培养思维能力的主渠道。

道理是：第一，容易题多，能让学生经常、反复经历数学思维过程，而只有经由这一过程才能升华出思维能力——“在游泳中学会游泳”；第二，容易题每个学生都能入手，不畏惧、不退缩而积极投入，从而得到充足的思维锻炼；第三，前此讨论“化归化基本思想方法”时说过，难题大多是若干容易题的组合，做容易题形成能力之后，做难题并不太难。

但上述道理必需一个前提：容易题所含数学思维丰富——否则这些道理都是空话。

那好，举例证明之。

【例28】  容易计算题里的严谨逻辑思维。

1、竖式计算25+34+56和25×43容易，但你可关注过其计算法则中饱涵的逻辑思维——算理？丹齐克在《数——科学的语言》第49页详述了所需算理“加法的交换性和结合性……乘法对于加法的……分配性”——竖式计算法则是依据它们严谨推导出来的，丹齐克分别表述为：“25+34+56=（20+5）+（30+4）+（50+6）=（20+30+50）+（5+4+6）=100+15=115”，  “25×43=（20+5）×（40+3）=〔（20+5）×3〕+〔（20+5）×40〕=（20×3）+（5×3）+（20×40）+（5×40）=75+1000=1075”。

可惜我们的计算教学严重存在重算法轻算理偏向，于是大量容易题培养思维能力的宝贵资源被浪费。

2、2009年某堂本市竞赛课，六年级复习，教师有个提问：“125×2×8=（125×8）×2=2000的依据是什么？”学生答：“乘法交换律，先乘2改为先乘8。”

此回答不严密，严谨推导过程应为：125×2×8=125×（2×8）=125×（8×2）=（125×8）×2=2000，算律运用过程则为结合律→交换律→结合律，并非只用了交换律。

执教者设计该问本意良好——思考算理以锻炼逻辑思维能力，可惜贯彻不力。事后不少朋友却说这个批评“吹毛求疵”——认为确实（或简略地说）只用了交换律！可交换律a×b=b×a应理解为只“管”两数相乘，该课所提问题却是三数相乘！从小就应熏陶学生逻辑思维的严谨性，马虎了事不好。

【例29】  容易应用题里的丰富思维。

三年级下册第2页“想想做做”第2题更容易：画了三个同样的书架，“我家共有375本书，平均每个书架上放多少本？”

解答该题可运用的数学思维包括：1、“求什么→需要什么条件”的分析法推理（逆推）：求商，须知被除数与除数；  2、“已知什么→可推出什么”的综合法推理（顺推）：已知总量和均分份数，可推出分量；  3、合情推理：从画面提供的情境发现隐藏的“均分份数”条件；  4、基本数学概念的逻辑把握：商，商结构“被除数÷除数=商”，除法运算之“等分除法”意义。

这些策略知识是否应该包含在教学之中？

【例30】  容易几何题里的丰富思维。

三年级上册第59页《长方形和正方形》单元“想想做做”第2题也容易：“你能用两副同样的三角尺（每副等腰、30°锐角三角尺各一），分别拼成一个长方形和一个正方形吗？”

表面看这道题极简单，但考虑到二年级已经学过角、角比较大小和直角，其实该题思维含量极为丰富：

1、只须对长方形、正方形有直感形象，便可把三角尺试拼几次完成，这是形象思维、动作思维、直觉思维的合作，解题策略是学习心理学里著名的“试错法”——别小看试错法，它不论在生活、工作还是科研中都作用极大。  2、接着再要学生说正确拼法的道理——聚敛性的逻辑思维：须依据角、边、直角、长方形与正方形等定义（尽管不用“定义”这个词）这些逻辑概念进行尽可能严谨的表述。  3、发散思维：可试错的拼法多样，其中的“错”（如两不同三角尺拼出的对吗）也有思维价值——讨论“它为什么是错的？”这须运用两角之和、长方形与正方形定义、角度大小比较等进行逻辑推理。

我们考虑过上述教学流程吗？

【例31】  容易统计题里的丰富思维。

一年级上册第76页例1也容易：图示大象家来的各位客人，“把它们理一理”即画出形象的分类小计图，然后问“你知道了什么？”

它的思维含量同样丰富：

1、分类即逻辑思维中的“划分”：划分需遵循标准唯一、标准一贯、不遗漏对象等逻辑规则——善于分类是数学思维能力强的一个表现。  2、教材以“物种”为划分标准，何妨用用性别、年龄、体重、服饰风格等其他标准？这须根据约会性质、接待方式、接待条件等不同需要选择，统计方式取决于统计目的——情境性思维（按：《人民教育》2009年第24期第9页：“美国著名心理学家R·J·斯滕伯格……认为每个学生的智力都是‘批判——分析性思维’、‘创造——综合性思维’、‘实用——情境性思维’这三种智力按不同比例合成的产物”）。  3、统计结果是数量关系结构，教材之例为小猴5只最多、小狗4只、小猪3只最少这样的数量关系结构。明白这点很重要：第一，这是在运用数学量化基本思想方法，抽象出对象的数量属性、扬弃其他所有属性、给它们“赋值”即使其数值化——大量成人不会应用数学的首要原因就是不会给所研究事物赋值即不具备量化能力；第二，它体现了统计学的性质与意义——研究某事物集合的数量关系结构，想让学生理解“统计”就要让他们明白这个意义。

我们思考过这样去教统计吗？

总之，容易题数学思维蕴含丰富，只要善于发现、发掘、利用之，确可成为培养数学思维能力的主渠道。

难题教学也需要，但对广大学生而言，我看只应把它当做“增亮剂”——为容易题主渠道添光增彩。

12、培养数学思维能力靠做难题吗？

一说到培养思维能力，人们就会想到去做难题。

在这种想法的主宰下，中国教师、中国父母无比重视培养数学思维能力，便举世无比地狂做难题从而引发“奥数疯狂”和“考试疯狂”——请读2009年第24期《人民教育》对奥数的沉重报道、请看里面那张数百家长拥挤奥数赛场外等着接孩子的照片、请到书店和中学生课桌上看看堆积如山的练习册、请算算在中小学泛滥的各类考试！

可惜这种重视一点儿用都没有：除开拿高分炫耀之外，升学用不上、搞科研用不上、工作生活也用不上。

【例25】  升学深造用不上。

（1）同前期《人民教育》第11页：“一位高中教师曾经做过一个小试验。一次寒假，他的刚升入大学的学生来看他。老师拿出一套试卷，请这些高分考上名校的大学生做一做。结果出来了，让他感到惊讶的是，竟然没有一个人及格！这些学生花了十多年学习的知识，竟然在高考的短短几个月后，就忘得一干二净！原因很简单，因为高考过去，这些知识就再也没有用了。”

（2）本人系1967届省重点高中毕业生且成绩优秀，教过几年中学数学后，1977年以数学97分（满分100分）的成绩考入师大数学系，可大学数学却远不如那些20岁左右、只在文革中混过“中学”的毛头小子们学得好。自我反思核心原因是：做了太多难题的我受初等数学静态数学思维方式的束缚太强，不如他们接受高等数学动态思维方式那么容易。

（3）本世纪初，一位亲戚的儿子考上大学后忧虑：“我没学好中学数学，大学数学会困难，是否入校前补补中学数学？”我反对：“很多中学数学的东西对大学没用！买本高等数学教材给你，认真自学极限、导数前两章，把每条定理的证明、每个例题彻底弄懂——无须做习题，关键是感受、体验、领悟高等数学的动态思维方式。”他这样做了，后来整个大学期间数学成为强项且花时间最少。

推论：升中学相同，小学繁杂的四则计算、弯弯绕的算术方法解应用题没用，最需要的是接受中学思维方式的能力，如把式子作为整体进行数学思考的能力、理解与运用两变量协变关系（特别如函数关系）的能力和严谨演绎推理的能力——是否具备这三项能力将成为初中数学成绩两极分化的分水岭。所以，小学从一年级开始就应逐步渗透、逐步强化这三项能力的培养，而沉迷于那些小学难题或奥数题则只会坏事。

【例26】  搞科研用不上。

（1）2002年，国际数学家大会首次在中国召开，许多中国数学家在总结现状、瞻望前途时痛斥我国数学教育的“高分低能”恶疾：学生考试、奥赛高分频频，却几十年培养不出一流数学家和科学家，“赢在起点、输在终点”！

（2）此后北京某次调查证实：高中奥数尖子上大学后已恨上数学而不愿再研究它，其大学数学成绩也与别的学生没有显著差异。

（3）2006年春某日，著名华人数学家、哈佛大学教授丘成桐兴冲冲赶到杭州与一群刚在高考中取得好成绩的数学尖子见面，结果却颇为失望：这些学生对于数论、几何到底是什么完全说不清楚（按：数学老师们又能说清楚吗），甚至一些基本的几何定理也一问三不知。仔细交流后得知，这些学生主要的学习方式是围绕题目一遍又一遍地做习题，老师授课时也是围绕习题讲课，讲解数学门类、培养学生兴趣都被忽略了。

推论：丘教授说：“大多数学生对数学根本没有清晰的概念，对定理不甚了了，只是做习题的机器。这样的教育体系，难以培养出什么数学人才。”

【例27】  工作、生活更用不上。

(1)本世纪初，一位教育局领导高兴地向我推荐某干事“写的真好”的全市学前教育现状调查报告——却发现里面没有任何数据分析，只有上十条定性的现状判断和对应的上十条对策建议！

(2)一位挚友初中成绩优秀，“家庭出身”不好进不了高中只好就业，后竟成气功大师。一日告我：“一岁多的女儿两年后将有峨眉山高人来接她成仙！”我笑答：“赌一只鸡、一瓶酒！两年后只可能发生一件事：你将求我帮忙把她搞进市干幼儿园（该园全市一流）！”挚友愤愤然——两年后我的预言兑现，鸡和酒笑纳。

(3)无数报道一直说西方发达国家中小学数学的难度比中国小得多，可甚至他们的小学生都能写出科技或数学论文、其解决实际问题的能力更比中国学生强得多。不论他们怎么“羡慕”我们的数学教育并因此加大教学难度，但肯定不会攀比我们的难度。

推论：就数学具体知识技能而言，职场所需高中及格水平足矣，日常生活所需更少，整数、小数、百分数四则运算足矣——即使发现缺失，会到书上或网上查找即可。工作和生活中最需要的反倒是数学态度、数学精神，它是科学精神的核心成分之一，如讲究实际、精确量化、分析综合、严谨推理等精神。

可惜我们的数学教学做了那么多难题，却常常脱离真实生活，没关注数学精神的培养，致使公民数学素养低下。

总推论：奥数、大量的偏题难题背离了任何一种实际需要，反而压抑、摧残了学生的数学兴趣、戕害了学生数学思维能力的提高，所以同前期《人民教育》第21页写到：“北京理工大学杨东平教授认为，已有非常可信的研究证明，奥数对于培养人的数学思维没有任何好处，它是一个数学杂技，是少数人盈利的工具。”

11、多种数学思维是错综同在的

前一个例话说数学思维有多种，希望不要误会它们只分别孤立存在：事实上，只要稍微复杂一点的数学问题，其解决总会用到多种数学思维，于是成为综合性培养数学思维能力的机会。

恰好《人民教育》2009年第23期刊载了一堂好课：杭州市上城区教育学院唐彩斌设计并执教的六年级“综合与实践”课《认识五角星》。就以它为例吧。

【例24】  从多种思维培养角度对《认识五角星》一课的分步解析（括号内是笔者的分析）。

第一步：“引出五角星，提出数学问题”。

1、师问：“在国旗和国徽上都有一个共同的图形，是什么图形？”生答：“五角星。”（合情推理中的归纳）  2、师追问：“那你们能不能说说什么样的图形是五角星？”学生未能做到。（逻辑思维中的下定义，即使六年级学生也感到困难，不奇怪）  3、请学生在多媒体展示的三个五角星中判断谁是标准的，学生做到了。（以形象思维替代逻辑思维，对小学生就显得容易多了）  4、“请观察标准的五角星，结合学过的知识，能不能提出一些数学问题？”学生提出的问题包括：五角星是否对称图形？五角星的角是多少度？怎么计算五角形的周长和面积？五角星中有多少个顶点和交点？中心点在哪里？五角星的五个点是否在同一个圆上？等等。（前一例话限于篇幅没作介绍但对创造思维很重要的发散思维，其相对者是计算和证明中的聚敛思维）

第二步：在上面的问题中选择一些让学生独立思考、合作解决。

1、研究形：“五角星是不是对称图形？有几条对称轴？把对称轴画出来。”（先直觉思维提出猜想，再依据对称的定义演绎性证明——虽然对小学生不要求证明表述的严谨性；操作中的动作思维）  2、研究点：“五角星的点有什么特点？”生答：对称轴的交点就是中心点；虽然点排成五行、每行四个，但点一共是10个而不是20个；五个顶点共圆。“所有的五角星顶点都共圆吗？”生答：应该是的。（归纳不同五角星点方面的若干共性，凭直觉提出“顶点共圆”猜想；对学生的猜想，教师自称用多媒体操作对许多五角星“不完全归纳”后可验证其正确——但遗憾这次连教师也错了，顶点不共圆的五角星大量存在）  3、研究角：“标准五角星的每个顶角是多少度？”启发学生用三种“代换法”推算出“是36°”。（推算的依据是已学定义和定理、过程是演绎推理；可惜没让学生先动作思维地量量角度大小）  4、研究周长和面积：学生发现，量出一条边的长度，乘10便得五角星周长；引导学生用“分解组合法”先求由中心点、一顶点和一交点组成的小三角形面积，乘10得五角星面积。（形象思维与逻辑思维的结合）  5、研究黄金比：“五角星中有很多的线段，它们的长度看上去特别的舒服，这些线段之间有着怎样的关系呢？”让学生试着先说说自己的直觉；引导学生在五角星中找出几组具有黄金比的线段；教师视情况补充介绍更多的黄金比（略）。（直觉思维、形象思维）

第三步：回顾整理，操作应用。

1、“学了今天的知识，你对五角星有了哪些新的了解？”生答：对称轴、角、周长、面积、黄金比、顶点共圆。（整理就是把散乱的知识分类、概括，属于逻辑思维）  2、引导学生回忆研究五角星的过程以及是如何分门别类逐项研究的，感悟学习的基本方法。（回顾、小结用到的多种思维方式）

第四步：数学欣赏，课外延伸。

1、“关于五角星的数学问题有很多，如在一个五角星的内部或外部可以扩展出一层层新的圆和五角星等等。”  2、“五角星如此奇妙，以致除了中国，世界上有50多个国家的国旗中都有五角星，如美国、澳大利亚、新加坡等。其实五角星的起源很早，现在发现最早的五角星图案是在幼发拉底河下游（现属伊拉克）一块公元前3200年左右制成的泥板上。更有趣的是，古希腊的毕达哥拉斯学派用五角星作为他们的徽章或标志，称之为‘健康’。还有更多的关于五角星的美妙问题等待着我们去发现！”  3、实践作业：课后根据所学知识制作一个五角星。（这一步的内容主要是情感、态度与价值观教育；但从作业内容可看出教师对发展学生动作、形象、抽象等思维的同等重视）

上述解析只集中在这堂课对多种思维培养的重视这个角度，显然我们还可以从别的角度展开新的解析——见仁见智、不一而足、留待众说。

10、数学是怎样的“思维体操”？

前9次例话我们探讨了数学的“量化”、“化归化”两个基本思想方法，这次开始探讨数学的“逻辑化基本思想方法”。

一说到“逻辑化”，大家也许会自然地想到“逻辑思维”、想到“数学是思维的体操”。这是否意味着数学作为思维的体操，锻炼的就是逻辑思维呢？而逻辑思维是否就是定义概念、提出命题、再象做几何证明题那样进行三段式的演绎推理呢？

让我们读三句话，打开眼界、冲破藩篱：

1、《普通逻辑学》（杨树森编著、安徽大学出版社2005年2月版）第1页：“‘逻辑’……严复从英语‘logic'翻译而来，其语源出自希腊文‘λ0γ0s‘（逻各斯），有话语、思想、思维、理性、规律、原则、本质等多种意义。”

所以“逻辑”可以广义地看成“思维的规律、规则”。

2、《音乐审美心理学教程》（林华著，上海音乐出版社2005年10月版）在第75-91页又对“思维”作了广义的解说：经过对动物史、人类史的探讨，指出人类的思维活动方式包括动作思维、直觉思维、形象思维和逻辑思维四种。

3、同前那本《普通逻辑学》第78页又指出：即使逻辑推理也包括演绎推理和非演绎推理两大类； 我们熟悉的、几何证明题里常用的三段论推理属于演绎推理，非演绎推理则包括归纳推理、类比推理、溯因推理以及探求因果联系的逻辑方法等等（中小学阶段可从简概括为归纳推理和类比推理两种）。

数学新课程积极提倡的“合情推理”就是非演绎性的归纳推理和类比推理：北师大版课标解读第163页说，“合情推理是根据已有的知识和经验，在某种情境和过程中推出可能性结论（按：即结论不具必然性）的推理。归纳推理、类比推理和统计推理（按：统计推理可视为归纳推理的一种）是合情推理的三种重要形式。”

总之，我们想探讨的“逻辑化基本思想方法”有着丰富的内涵，它想探讨各种数学思维的规律或规则，既包括以语词和符号为载体的抽象逻辑思维，又包括运用其他不同载体的动作思维、直觉思维和形象思维，在抽象逻辑思维中则既包括演绎推理的思维、又包括非演绎的合情推理思维——概括起来就是探讨学生数学学习过程中各种“数学思考”的特征与规律，——“数学是锻炼多种思维的体操”。

把眼界放得这么开有必要吗？小学数学里除开显然的演绎性逻辑思维，真的还有其他那些种类的思维吗？

[例21]  合情推理的存在。

归纳、类比这些合情推理在小学数学中广泛存在，限于篇幅，仅举一年级和六年级教材中的若干例证。

归纳推理：一年级上册，第7页对商店物品的分类需归纳各组物品的的共性分别是“书籍”、“饮料”、“玩具”等；第27页给空间基本图形分类要先弄清各类图形的共性；第76页确定统计项目也先要弄清各类统计对象的共性；全册对加法、减法运算意义的归纳（凡求“一共”、“总共”、“合计”、“连接”等的运算是加法，凡求“比多”、“比少”、“剩余”之类的运算是减法）；第78页归纳得出11-20各数的十进位值制记数法则，等等。

六年级下册，第二单元《圆柱与圆锥》的例1写道：“上面哪些物体的形状是圆柱体？……仔细观察圆柱，你发现了什么？”然后在方框里指明可发现的圆柱形状特征：上下一样粗、上下两面是完全相同的圆形、有一个面即侧面是弯曲的。这个“发现”过程就是对若干不同圆柱体仔细观察、归纳共性的过程。随后对圆锥形状特征的“发现”也是此种观察、归纳过程。

类比推理：一年级下册第一单元《减法》的内容是11至19的某数减去一个个位数，该单元隐含的教学方法就是类比法：先学会减9的方法（如凑10法），再将该法（如凑10法）类比推广，用于减其他数（减数小于5时则用其他方法较简单）。

六年级上册，第二单元《长方体和正方体》的“评价与反思”列出了“在探索长方体、正方体表面积和体积的计算方法时能进行一些合理的归纳与类推”这样一条评价标准，“类推”即将学习长方体所得“类比推广”到正方体；三、四两个单元分别探究分数乘、除计算方法，其所运用的的图示教学法，实质上也是用几何图形面积大小的变化规律来类比分数值变化的规律。

[例22]  动作思维与形象思维的存在。

不论苏教版还是人教版新教材，都相当强调对学生动手操作活动的设置、强调教学的形象直观性，因为皮亚杰指出儿童思维发展的轨迹是：感知运动阶段（动作思维为主）→前运算阶段→具体运算阶段（一般在5-11岁，形象思维为主）→形式运算阶段（一般11岁左右开始，抽象逻辑思维为主）。

[例23]  直觉思维的存在丰富多样，值得高度重视。

1、苏教版教材的各册，经常出现“猜一猜”的要求，就是在鼓励学生开展直觉思维。

2、不妨把数感、形感、符号感、式感之类统称为“数感”，那何为数感？课标解读对数感的解释多且繁杂，让人不得要领，不如简捷道明：数感就是对各种数学对象特征的直觉感受或直觉感悟——这些对象包括数、式、符号、图形等等。

3、速算、对问题情境中数量或图形关系结构的迅速把握、在多种解题策略或解题术中的迅速选择、对解答结果正误的迅速判断，都离不开直觉思维。

所以，不要以为直觉思维只对数学家从事数学发现或创造才价值大——对学生学数学、用数学同样价值大。

总之，数学是多种思维的体操，在整个小学阶段，数学课程培养、锻炼学生多种思维能力的机会遍地开花、异彩纷呈，对此我们应充分了解、及时把握、统筹利用。